流れを記述する未知変数

 連続体の運動を考える際に、未知変数が何かを考えることは重要です。ここでは、水を例にして流体の未知変数について考えていきます。

速度

では、流体の変数について考察します。まず、川の流れを考えると、川の水には速度があることがわかります。よって、

  1. x方向の速度:u(x,y,z,t)
  2. y方向の速度:v(x,y,z,t)
  3. z方向の速度:w(x,y,z,t)

が未知変数になります。ここで、x,y,zは位置で、tは時間となります。

密度

 質点と同じように、流体にも質量があります。ただし、流体には形がないので、単位体積あたりの質量を考えます。この単位体積あたりの質量を密度といい

 \rho(x,y,z,t)

とします。これが4つめの変数となります。

圧力

水風船をわると、水が一気に吹き出します。

風船

これは、水に蓄えられた圧力が、ゴムの破れによって一気に開放されることにより生じます。このことから、圧力も流れを記述する重要なパラメータであることがわかります。よって、圧力

 p(x,y,z,t)

が5つめの変数となります。

バルトロピー流体

 以上のことより、流体の記述には5つの変数が必要にだとわかりました。よって、流体の流れを理解するには5つの方程式が必要になります。ただ、多くの流体は密度が一定の場合や密度が圧力に依存するp(\rho)の場合が多くあります。圧力が密度に依存する流体をバルトロピー流体といいます。以上のことから、バルトロピー流体の場合、最終的な未知変数は速度(u,v,w)と圧力pの4つになります。

著者:安井 真人(やすい まさと)