オイラーの運動方程式

質点の運動の解析をする際、まず運動方程式を立てることから始めました。

これと同様に流体のような連続体にも運動方程式が存在します。

ここでは、流体力学における運動方程式であるオイラーの運動方程式を導きます。

オイラーの運動方程式の導出

ニュートンの第二法則は

 f=ma

でした。

これを流体に適応するために、連続体を\delta x,\delta y,\delta zの立方体にわけます。

bisyou

質量

この立方体の質量は

 m=\rho\delta x\delta y\delta z

になります。

加速度

さらに、加速度は前回紹介した実質微分より

 \displaystyle a_{x}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\\a_{y}=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}\\a_{z}=\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}

となります。

外力

まず、圧力による力を計算します。

aa

x成分だけを考えると、

 \displaystyle \left(p\left(x-\frac{\delta x}{2},y,z,t\right)-p\left(x+\frac{\delta x}{2},y,z,t\right)\right)\delta y\delta z

となります。これをテイラー展開すると

 \displaystyle p\left(x-\frac{\delta x}{2},y,z,t\right)-p\left(x+\frac{\delta x}{2},y,z,t\right)\delta y\delta z\\=\left(\frac{\partial p}{\partial x}\left(-\frac{\delta x}{2}\right)-\frac{\partial p}{\partial x}\left(\frac{\delta x}{2}\right)+O((\delta x)^{2})\right)\delta y\delta z\\=-\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\delta y\delta z+O((\delta x)^{2})\delta y\delta z

が得られます。

また、重力のような体積力を\bf{F}とすると

 \rho\bf{F}\delta x\delta y\delta z=\rho\left(\begin{array}{c}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{array}\right)\delta x\delta y\delta z

となります。

他にも粘性が連続体にはありますが、ここでは粘性のない完全流体を考えることにします。

まとめ

以上をまとめて運動方程式に代入すれば、x成分は

 \displaystyle\rho\delta x\delta y\delta z\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\delta y\delta z+O((\delta x)^{2})\delta y\delta z+\rho F_{x}\delta x\delta y\delta z\\\Leftrightarrow \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{O((\delta x)^{2})}{\rho\delta x}+F_{x}

となります。ここで、\delta x\to 0とすれば、

 \displaystyle\frac{O((\delta x)^{2})}{\rho\delta x}\to 0

となるので

 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}

が得られます。同様にy,z成分も計算すると以下の定理を得ることができます。

オイラーの運動方程式

 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}\\\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+F_{y}\\\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+F_{z}

オイラーの方程式が流体力学における運動方程式となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)