ベルヌーイの定理

力学にエネルギー保存則があったように、流体力学にもエネルギー保存則が存在します。

それがベルヌーイの定理です。

ここでは、ベルヌーイの定理を導き、解説します。

ベルヌーイの定理の導出

エネルギー保存則では、速度の2乗を微分することで導きました。

そこで、ここでは速度の二乗

 q^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}

を空間で偏微分します。すると

 \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial x}

が得られます。また、運動方程式

 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}

を変形し

 \displaystyle u\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial t}-v\frac{\partial u}{\partial y}-w\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}

を利用すると

 \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=-\frac{\partial u}{\partial t}-v\frac{\partial u}{\partial y}-w\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}+v\frac{\partial v}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial x}\\=-\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}+w\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z}\right)-v\left(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\right)

となります。ここで、

 \vec{\omega}=\left(\begin{array}{c}\xi\\\eta\\\zeta\end{array}\right)=\nabla\times\vec{v}=\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\\\displaystyle -\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right)

とおくと、

 \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=-\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}-w\eta+v\zeta\\\Leftrightarrow\frac{\partial u}{\partial t}-\left(v\zeta-w\eta\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)

が得られます。同様にy、z成分の計算を行うと

 \displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}-\left(w\xi-u\zeta\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+F_{y}-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)

 \displaystyle\frac{\partial w}{\partial t}-\left(u\eta-v\xi\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+F_{z}-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)

となります。まとめると最終的に

 \displaystyle\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}-\vec{v}\times\vec{w}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec{F}-\nabla\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)

という式になります。これがベルヌーイの定理です。

外力がポテンシャルをもちバルトロピー流体の場合

上記の式で

  1. バルトロピー流体(圧力で密度がきまる)
  2. 外力がポテンシャル\Piをもつ

という条件とを加えるともう少しすっきりとかくことができます。

バルトロピー流体とは圧力で密度が決まる流体なので、空間に依存しません。よって、

 \displaystyle\nabla P=\nabla\left(\int\frac{dp}{\rho(p)}\right)=\frac{1}{\rho}\nabla p

となります。また、外力がポテンシャルをもつので

 \vec{F}=-\nabla \Pi

と記述できます。よって、ベルヌーイの定理は

 \displaystyle\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}-\vec{v}\times\vec{w}=-\nabla\left(P+\Pi+\frac{1}{2}q^{2}\right)

となります。

さらに定常な流れで流線を沿ってベルヌーイの定理を考えると

流体の流れが定常の場合だと、

 \displaystyle\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0

なので

 \displaystyle -\vec{v}\times\vec{w}=-\nabla\left(P+\Pi+\frac{1}{2}q^{2}\right)

が得られます。さらに、流線に沿ってベルヌーイの定理を考えると、

 \vec{v}\bot\vec{v}\times\vec{w}

なので\vec{v}\times\vec{w}の流線方向成分はゼロになります。よって

 \displaystyle\nabla\left(P+\Pi+\frac{1}{2}q^{2}\right)=0

となります。流線にそって積分すれば

 \displaystyle\int\frac{dp}{\rho}+\Pi+\frac{1}{2}q^{2}=const

が得られます。

非圧縮性流体で、外力が重力のみの場合

さらに水のような非圧縮性の流体で外力が重力のみなら

 \displaystyle\int\frac{dp}{\rho}=\frac{p}{\rho}

 \Pi=gz

より

 \displaystyle\frac{p}{\rho}+gz+\frac{1}{2}q^{2}=const

となります。流線に沿って、このベルヌーイの定理を使えば、圧力と流速の計算に使用できて便利です。

著者:安井 真人(やすい まさと)