ベルヌーイの定理の応用

前回、ベルヌーイの定理について導出しました。

ベルヌーイの定理はエネルギー保存則で、うまく応用することで簡単に流速を計算できたりします。

ここでは、実際にベルヌーイの定理を使って問題を解いていきます。

ベルヌーイの定理の応用1:トリチェリの定理

コップに穴が開いていて水が漏れています。

トリチェリの定理

この穴から出てくる流速vを計算します。

水の場合、非圧縮性流体です。そして、外力は重力だけです。

また、実際には定常流れでないのですが、十分小さい時間を考えればほぼ定常な流れとみなせます。

よって、ベルヌーイの定理より

 \displaystyle\frac{p_{0}}{\rho}+gz_{A}=\frac{1}{2}v^{2}+\frac{p_{0}}{\rho}+gz_{B}

が得られます。ここで、p_{0},\rho,gはそれぞれ大気圧、水の密度、重力加速度となります。

この方程式をBでの速度vについて解くと

 \displaystyle v=\sqrt{2g(z_{A}-z_{B})}

となります。これをトリチェリの定理と呼びます。

結局の話、落下するボールと同じ結果というわけですね。

ベルヌーイの定理の応用2:ピトー管

では、ベルヌーイの定理を応用して流速を測ってみます。

流速をはかるのにはピトー管というものを用います。

ピトー管は、流れに対して垂直におくことで流速を計測します。

ピトー管

点AとBでベルヌーイの定理を適用すると

 \displaystyle p_{A}+\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{B}

となります。点Bは流れがピトー管に遮られ速度が0になります。この点をよどみ点と呼んだりします。

そして、p_{A},p_{B}がそれぞれ地点A、Bでの圧力になります。

さらに計算すれば、流速が

 \displaystyle v=\sqrt{\frac{2}{\rho}(p_{B}-p_{A})}

となります。あとは、地点AとBでの圧力がわかれば流速を求めることができます。

まず、圧力p_{B}はピトー管の中心管における水面の高さから計測できます。よって、pがBでの圧力です。

一方、Aでの圧力はCと流速が同じなので同じになります。よって、ピトー管の側面より流入する水の高さを計測すれば地点Aの圧力がp_{0}となります。

以上より、

 \displaystyle v=\sqrt{\frac{2}{\rho}(p-p_{0})}

が流速となり、ピトー管の中央・側面における水面の差で計測できます。

ベルヌーイの定理の応用3:水面下の圧力

ちなみに液面差と圧力差に関してもベルヌーイの定理より計算できます。

いまコップの水を考えます。すると、ベルヌーイの定理より

 \displaystyle\frac{p_{A}}{\rho}+gz_{A}=\frac{p_{B}}{\rho}+gz_{B}\\\Leftrightarrow \Delta p=p_{B}-p_{A}=\rho g(z_{A}-z_{B})=\rho g\Delta z

が得られます。よって、先ほどのピトー管では液面差から

 \displaystyle v=\sqrt{2g\Delta z}

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)