重力と粘性抵抗力を受ける物体の運動

ボールを投げると空気抵抗を受けます。

この空気抵抗をモデル化してどれくらいボールの軌道に影響を及ぼすかを計算してみましょう。

空気抵抗のモデル化

まず、空気抵抗をモデル化しましょう。

空気抵抗を受けるのは実感として、速い速度で移動しているときでしょう。

例えば、自転車をこいでいるときに空気抵抗を感じます。

そこで、

空気抵抗は速度に比例し、速度と逆向きにはたらく

と仮定します。すると、

 \displaystyle m\frac{dv_{z}}{dt}=-hv_{z}-mg

が質点が落下している際のz方向の運動方程式です。hは比例定数で、大きいほど空気抵抗を受けやすくなります。x方向の運動方程式は

 \displaystyle m\frac{dv_{x}}{dt}=-hv_{x}

となります。

運動方程式を解く

では運動方程式を解いていきます。

x方向の運動方程式

x方向は線形方程式です。線形微分方程式の解き方については以下の記事を参考にしてください。

>>線形微分方程式の記事

 

 \displaystyle m\frac{dv_{x}}{dt}=-hv_{x}

方程式を解くためにとりあえず

 v_x(t)=e^{at}

を代入します。すると

 \displaystyle mae^{at}=-he^{at}\\\Rightarrow a=-\frac{h}{m}

となります。よって、

 \displaystyle v_{x}(t)=A\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)

が一般解となります。そして、

 \displaystyle v_{x}(t)=v_{x}(0)\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)

が特殊解となります。位置に関しては時間で積分すれば

 \displaystyle x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t}v_{x}(t)dt\\ =x(0)+\left[v_{x}(0)\frac{-m}{h}\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)\right]_{0}^{t}\\ =x(0)+v_{x}(0)\frac{m}{h}\left(1-\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)\right)

が得られます。

 

念の為に、h\to 0を考えます。こうすれば等速直線運動になるはずです。

 \displaystyle\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)=1-\frac{h}{m}t

という近似を使えば

 \displaystyle x(t)=x(0)+v_{x}(0)\frac{m}{h}\left(1-1+\frac{h}{m}t\right)\\ =x(0)+v_{x}(0)t

となり、確かに等速直線運動になります。

z方向の運動方程式

次にz方向の運動方程式をときます。

 \displaystyle m\frac{dv_{z}}{dt}=-hv_{z}-mg

この式は非線形方程式ですが解くことができます。非線形方程式の解き方は以下の記事を参考にしてください。

>>線形でない微分方程式の記事

まず、

 \displaystyle m\frac{dv_{z}}{dt}=-hv_{z}

をときます。これはx方向と同じなので、

 \displaystyle v_{z}=A\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)

となります。

 

一方、

 \displaystyle v_{z}=-\frac{mg}{h}

とすれば

 \displaystyle m\frac{dv_{z}}{dt}=-hv_{z}-mg

を満たすことがわかります。よって、

 \displaystyle v_{z}=A\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)-\frac{mg}{h}

が一般解となります。これに初期条件を入れることで

 \displaystyle v_{z}=\left(\frac{mg}{h}+v_{z0}\right)\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)-\frac{mg}{h}

が得られます。

 

この解より空気抵抗により最終速度は\displaystyle -\frac{mg}{h}となることがわかりました。

 

次に位置に関しては、速度を積分して

 \displaystyle z(t)=z(0)+\int_{0}^{t}v_{z}dt\\ =z(0)+\left(\frac{mg}{h}+v_{z0}\right)\frac{m}{h}\left(1-\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)\right)-\frac{mg}{h}t

が得られます。

遠くまで飛ばすにはどうすればいいか

 ではボールを遠くまで飛ばすにはどうすればいいか考えます。

ボールの初期位置を原点として、速さをvで角度\thetaでボールを投げるとします。

すると時刻tでのzは

 \displaystyle z(t)=\left(\frac{mg}{h}+v\sin\theta\right)\frac{m}{h}\left(1-\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)\right)-\frac{mg}{h}t

となります。

 z(t_{0})=0

を解けばいいのですが難しそうです。そこで空気抵抗は十分小さいと近似してときます。すると、

 \displaystyle 1-\exp\left(-\frac{h}{m}t\right)=\frac{h}{m}t-\frac{h^{2}}{2m^{2}}t^{2}

と近似できます。

一次だけだと空気抵抗の影響がでないので二次まで含めました。

すると、

 \displaystyle z(t_{0})=\left(\frac{mg}{h}+v\sin\theta\right)\left(t_{0}-\frac{h}{2m}t_{0}^{2}\right)-\frac{mg}{h}t_{0}=0\\\Rightarrow t_{0}=\frac{\left(\frac{mg}{h}+v\sin\theta\right)-\frac{mg}{h}}{\left(\frac{mg}{h}+v\sin\theta\right)\frac{h}{2m}}=\frac{2m}{h}-\frac{2m^{2}g}{h^{2}\left(\frac{mg}{h}+v\sin\theta\right)}=\frac{2mv\sin\theta}{mg+hv\sin\theta}

ここで、\thetaは0でないとしました。

あとは、xに代入して

 \displaystyle x_{0}=x(t_{0})=v\cos\theta\left(t_{0}-\frac{h}{m}t_{0}^{2}\right)\\\approx vt_{0}\cos\theta=\frac{2mv^{2}\cos\theta\sin\theta}{mg+hv\sin\theta}\\ =\frac{mv^{2}\sin 2\theta}{mg+hv\sin\theta}

が得られます。h\to 0のときは空気抵抗がない場合の計算と一致するのでたぶん合っているでしょう。

この式からわかることは

空気抵抗があるので45°より少し低い角度で飛ばした方が飛距離がでる

ということです。これは初速が速い人ほど効いてきます。また、ボールの重さが大きいと空気抵抗はあまり影響しないことがこの式からわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)