バネの力と粘性抵抗力を受ける質点の運動

下の図のように壁に固定してあるバネに質点をつけたモデルを解析します。

空気抵抗がない場合とある場合で分けて計算します。

バネモデル

空気抵抗がない場合

まず、バネは自然長からの長さに比例して戻す力がはたらきます。

ですから、自然長の位置を原点とすれば運動方程式は

 \displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx

となります。

これは二次の線形方程式なので基底ベクトルとなる解を2つ探します。

この場合

 \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right),\\\sin\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)

が解となることがわかります。ですから、線形結合したのが一般解となるので

 \displaystyle x(t)=A\cos\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)+B\sin\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)

となります。ここでA,Bは初期条件で決まる定数です。

初期位置を原点とすれば

 \displaystyle x(t)=B\sin\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)

となります。速度は時間で微分して

 \displaystyle v_{x}(t)=B\sqrt{\frac{k}{m}}\cos\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)

となり、初期速度がvとすれば

 \displaystyle v=B\sqrt{\frac{k}{m}},\\\Rightarrow B=v\sqrt{\frac{m}{k}}

が得られます。

ゆえに解は

 \displaystyle x(t)=v\sqrt{\frac{m}{k}}\sin\left(t\sqrt{\frac{k}{m}}\right)

となります。周期はサインの中が0から2\piとなったら一周なので周期は

 \displaystyle 2\pi=T\sqrt{\frac{k}{m}},\\\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

となります。質点が重いと周期が長くなることがわかります。

空気抵抗がある場合

空気抵抗がある場合の運動方程式は

 \displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-h\frac{dx}{dt}-kx

となります。これも二次の線形方程式なので、基底となる解を2つ見つけます。

解を見つけるために

 x(t)=\phi (t)e^{-\beta t}

の形が解になっていると予想します。空気抵抗があるので指数関数的に減衰するだろうと考えました。これを代入して整理すると

 \displaystyle m\left(\frac{d^{2}\phi}{dt^{2}}e^{-\beta t}-2\beta\frac{d\phi}{dt}e^{-\beta t}+\beta^{2}\phi e^{-\beta t}\right)=-h\left(\frac{d\phi}{dt}e^{-\beta t}-\beta\phi e^{-\beta t}\right)-k\phi e^{-\beta t}\\\Rightarrow m\left(\frac{d^{2}\phi}{dt^{2}}-2\beta\frac{d\phi}{dt}+\beta^{2}\phi \right)=-h\left(\frac{d\phi}{dt}-\beta\phi \right)-k\phi\\\Rightarrow\frac{d^{2}\phi}{dt^{2}}-\left(2\beta-\frac{h}{m}\right)\frac{d\phi}{dt}+\left(\beta^{2}-\frac{h\beta-k}{m}\right)\phi=0

ここで、式を簡単にするため\beta=\frac{h}{2m}とすれば

 \displaystyle\frac{d^{2}\phi}{dt^{2}}+\left(\beta^{2}-\frac{h\beta-k}{m}\right)\phi=0\\\Rightarrow \frac{d^{2}\phi}{dt^{2}}+\left(\frac{k}{m}-\beta^{2}\right)\phi=0

が得られます。

  • \sqrt{\frac{k}{m}}>\beta
  • \sqrt{\frac{k}{m}}=\beta
  • \sqrt{\frac{k}{m}}<\beta

の場合に分けて考えます。

\sqrt{\frac{k}{m}}>\betaの場合

この場合なら、空気抵抗がない場合と同じ式の形なので

 \phi(t)=A\sin\left(t\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\beta}\right)+B\right)

が一般解なので

 x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(t\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\beta}\right)+B\right)

が得られます。この場合は振動しながら減衰していきます。

\sqrt{\frac{k}{m}}=\betaの場合

この場合は

 \phi(t)=At+B

なので、

 x(t)=(At+B)\exp\left(-\beta t\right)

が一般解となります。この場合は、振動しようと少し立ち上がって減衰していきます。振動はしません。

\sqrt{\frac{k}{m}}<\betaの場合

この場合は、

 \phi(t)=A\exp\left(t\sqrt{\beta^{2}-\frac{k}{m}}\right)+B\exp\left(-t\sqrt{\beta^{2}-\frac{k}{m}}\right)

となります。よって

 x(t)=A\exp\left(-t\left(\beta-\sqrt{\beta^{2}-\frac{k}{m}}\right)\right)+B\exp\left(-t\left(\beta+\sqrt{\beta^{2}+\frac{k}{m}}\right)\right)

が得られます。この式から時間とともに減衰していくことがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)