力学的エネルギーの保存則

質点が保存力を受けて運動している場合を考えます。

保存力とは、「仕事が経路によらない力」のことで、保存力には位置エネルギーが存在して

 \mathbf{f}=-\mathbf{\nabla}U(x,y,z)

と力を記述することができます。

 

この場合、

運動エネルギーと位置エネルギーの和を「力学的エネルギー」といい、時間変化によらず一定となります。

このことを確かめてみましょう。

 

まず、力学的エネルギーは

 E=\frac{m}{2}\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}(t)+U(x(t),y(t),z(t))

となります。これを時間で微分すると

 \displaystyle\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}+v_{z}(t)^{2}\right)+\frac{d}{dt}U(x(t),y(t),z(t))\\=mv_{x}(t)\frac{dv_{x}}{dt}+mv_{y}(t)\frac{dv_{y}}{dt}+mv_{z}(t)\frac{dv_{z}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial U}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{dt}\\=f_{x}v_{x}+f_{y}v_{y}+f_{z}v_{z}-f_{x}v_{x}-f_{y}v_{y}-f_{z}v_{z}\\=0

となります。よって、

 E={\rm const}

となるわけです。

 

非保存力も受けている場合

では、保存力だけでなく非保存力(摩擦など)を受ける場合、力学的エネルギーの時間変化はどうなるでしょうか?

このことを知るためにさっそく計算してみましょう。

 

まず、力を保存力と非保存力に分けて記述します、

 \mathbf{f}=\mathbf{f}^{c}+\mathbf{f}^{nc}

ここで、\mathbf{f}^{c}が保存力で、\mathbf{f}^{nc}が非保存力です。さらに、保存力の位置エネルギーをU(x,y,z)とします。

 

では、力学的エネルギー

 E=\frac{m}{2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}+U(x,y,z)

を時間微分してみます。すると

 \displaystyle\frac{dE}{dt}=m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{\nabla}U\cdot\mathbf{v}\\=(\mathbf{f}^{c}+\mathbf{f}^{nc})\cdot\mathbf{v}-\mathbf{f}^{c}\cdot\mathbf{v}\\=\mathbf{f}^{nc}\cdot\mathbf{v}

が得られます。よって、

力学的エネルギーの時間変化は非保存力の仕事率に等しい

という結論になります。

 

例.空気抵抗

空気抵抗などの粘性抵抗の場合は

 \mathbf{f}^{nc}=-c\mathbf{v}

より

 \mathbf{f}^{nc}\cdot\mathbf{v}=-c\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}<0

なので、力学的エネルギーは常に減少します。

空気抵抗があると転がっている球もいつかは止まるということですね。

 

まとめ

以上のことをまとめると

  • 質点に保存力のみがはたらくなら、力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギーの和)は一定である
  • 質点に非保存力もはたらくなら、力学的エネルギーは非保存力の仕事率に等しい

となります。保存力のみかから場合は力学的エネルギーが一定という性質があるので、とても扱いやすいです。

著者:安井 真人(やすい まさと)