質点系と剛体

これまで質点が一つの場合を考えてきました。

ここでは、質点がn個ある質点系について考えます。

さらに、

質点間の距離は一定である

という特殊な場合を考えます。nが2の場合は、とても固い棒の両端におもりがついているような状態のことです。

重心

質点が複数ある場合は、どこを中心とすればいいかがわからなくなります。

そこで、中心の一つの指標である重心について説明します。

重心とは読んで字のごとく重さの中心点で

 \displaystyle\mathbf{r}_{G}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}\mathbf{r}_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}}

となります。

質量の高い質点の位置に重みが置かれるのが重心です。

重心の時間変化を計算する

次に重心が時間的にどのように変化するのかを知りたくなります。

そこで、重心の運動方程式を求めてみましょう。

 

まず、質点ごとの運動方程式は

 \displaystyle m_{i}\mathbf{a_{i}}=\mathbf{f}_{i,ex}+\sum_{j=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}

となります。ここで、i=1,2,3,\cdots,nで、

  • \mathbf{f}_{i,j}は質点jが質点iへ与える力
  • \mathbf{f}_{ex}は質点系以外が質点iへ与える力

のことです。また、

 \mathbf{f}_{i,i}=\mathbf{0}

とします。

 

質点の運動方程式をすべて足せば

 \displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}\mathbf{a}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{f}_{i,ex}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}\\\Leftrightarrow\frac{d^{2}}{dt^{2}}M\frac{\sum_{i}^{n}\mathbf{r}_{i}}{M}=\mathbf{F}_{ex}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}\\\Leftrightarrow\frac{d^{2}}{dt^{2}}M\mathbf{r}_{G}=\mathbf{F}_{ex}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{f}_{j,i}\\=\mathbf{F}_{ex}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{f}_{i,j}-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{f}{j,i}\\=\mathbf{F}_{ex}

が得られます。つまり、

 \displaystyle M\frac{d\mathbf{V}_{G}}{dt}=\mathbf{F}_{ex}

です。ここで

 \displaystyle M=\sum_{i=1}^{n}m_{i},\\\mathbf{r}_{G}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}\mathbf{r_{i}}}{M},\\\mathbf{V}_{G}=\frac{d}{dt}\mathbf{r}_{G},\\\mathbf{F}_{ex}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{f}_{ex,i}

としています。

 

よって、

質量を質点系の総質量、位置を重心、力を質点系にかかる外力の総和として運動方程式を立てればよい

という結論になります。つまり、質点の運動も質点系の運動も同じということですね。

 

剛体

わたしたちの身の回りのものは連続体です。

たとえば、えんぴつは点ではなくて連続ですよね。

ですから、質点系ではなく連続体として扱う必要があります。

 

もちろん物質は変形しますが、ここでは変形しない物質を考えます。

変形しない連続体を剛体(ごうたい)と呼びます。

重心

では、剛体の重心を計算します。

といっても、質点系のシグマ記号を積分記号にするだけです。

 

では計算します。

剛体を体積\Delta Vで分割して、番号をふります。そして、これを質点系とみなせば

 \displaystyle\mathbf{r}_{G}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\rho(\mathbf{r}_{i})\Delta V\mathbf{r}_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\rho_{i}(\mathbf{r}_{i})\Delta V}

と重心が得られます。ここで、\rhoは密度です。

 

次に、\Delta V\to 0の極限をとれば

 \displaystyle\mathbf{r}_{G}=\frac{\displaystyle\int_{V}\rho(\mathbf{r})\mathbf{r}dV}{\displaystyle\int_{V}\rho(\mathbf{r})dV}

が得られます。これが剛体の重心です。

 

運動方程式

剛体の運動方程式も質点系と同様にして導出できます。

まず、剛体をdVで分割して、ある要素に対して運動方程式を立てます。すると

 \displaystyle\rho dV\frac{d\mathbf{v}}{dt}=d\mathbf{f}_{ex}+d\mathbf{f}_{internal}

となります。これを積分すると
 \displaystyle\frac{d^{2}}{dt^{2}}M\frac{\displaystyle\int_{V}\rho\mathbf{r}dV}{M}=\int_{V}d\mathbf{f}_{ex}+\int_{V}d\mathbf{f}_{internal}

となり、ここで

 \displaystyle\int_{V}d\mathbf{f}_{internal}=\mathbf{0}

より

 \displaystyle M\frac{d\mathbf{V}_{G}}{dt}=\mathbf{F}_{ex}

が得られます。

まとめ

以上のことをまとめると

質点系も剛体も「位置=重心,質量=総質量,力=総外力」として運動方程式を解けば運動を理解できる

ということになります。

ですから、わたしたちの身の回りのものを質点とみなして軌跡を記述することは合理的だということがわかりますね。

著者:安井 真人(やすい まさと)