平面電荷分布がつくる電場

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 前回、電場について説明しました。今回は電場の計算例として、平面に一様な電荷がある場合の電場を計算します。平面電荷の議論は電子回路における基本的な部品であるコンデンサー(蓄電器)で使用するため大切です。積分の知識が必要なので、積分を学んでいない方はまず積分の勉強をしておきましょう。

平面電荷がつくる電場

 まず、図のようにxy平面上に一様に電荷がある場合を考えます。

電場の計算

この電荷の密度を\sigmaと置きます。無限大の平面に電荷があるので、電場はx,yには依らないことがわかります。よって、

 \vec{E}(z)

となります。そこでz軸の電場を計算します。z軸に対して電荷はxy方向に対称にあるので

 E_{x}=0,E_{y}=0

となります。そして、z方向は微小領域により

 \displaystyle k\frac{r\Delta \theta \Delta r\sigma}{r^{2}+z^{2}}\cos\phi+k\frac{r\Delta \theta \Delta r\sigma}{r^{2}+z^{2}}\cos\phi\\=\frac{2kr\sigma\cos\phi}{r^{2}+z^{2}}\Delta \theta \Delta r

の電場を与えます(→クーロン力による電場の記事)。ここで、

 \displaystyle \cos\phi=\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}

です。電場は重ね合わせの原理が成り立つので、式をxy平面で積分(足しあわせ)して

 \displaystyle E_{z}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}2k\frac{r\sigma}{r^{2}+z^{2}}\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}d \theta dr,

 \displaystyle =4\pi k\sigma z\int_{0}^{\infty}\frac{r}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} dr\thetaで積分(\thetaがないので単に2\piがでてくる)

 \displaystyle =4\pi k\sigma z\left[ -\frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\right]_{0}^{\infty}rで微分してチェックするとわかると思います。

 =4\pi k\sigma

となります。よって、

 \vec{E}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\4\pi k\sigma\end{array}\right),z>0

が成り立ちます。同様にして

 \vec{E}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-4\pi k\sigma\end{array}\right),z<0

となります。\sigma>0の場合の電場は図のようになります。

電磁力線

\sigma<0の場合は矢印の向きが変わるだけです。もちろん無限平面などあり得ないので、このような電場はありません。すなわち、zが平面電荷が溜まっている面積と比べて十分小さければ、近似的に成り立つのです。

著者:安井 真人(やすい まさと)