電位

電灯

 力学でエネルギーを扱うことにより計算が簡単になる問題が多くありました。そこで、ここでは電場のエネルギーを計算できるようにします。電場のエネルギーを計算できれば、エネルギー保存則でエネルギーのやり取りを計算できるようになります。

電位の一般論

 まず、電荷qの質点が電場\vec{E}中を移動する際に受ける仕事は

 \displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}\cdot \vec{v}dt

で定義されました。すると電荷qが受ける力は

 \vec{F}=q\vec{E}

なので、

 \displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}}q\vec{E}\cdot\vec{v}dt=q\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{E}\cdot\vec{v}dt

が電荷qへ電場から与えられた仕事になります。ここで、\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}はそれぞれ時刻t_{1},t_{2}での質点の位置とすると、運動方程式より得られた式

 \displaystyle \frac{m}{2}\vec{v}(r_{2})\cdot\vec{v}(r_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(r_{1})\cdot\vec{v}(r_{1})=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt

により右辺が

 \displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt\\=q\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{E}\cdot\vec{v}dt\\=q\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\=-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}+q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

となります。よって、

 \displaystyle\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})=-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}+q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

が成り立ちます。ここで

 \displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

と置き、位置r_{0}を基準とした電位と呼びます。するとエネルギー保存則は

 \displaystyle \frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})+qV(\vec{r}_{1})=\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})+qV(\vec{r}_{2})

と書くことができます。

電位の重ね合わせの原理

 電場は重ね合わせの原理が成り立つので

 \displaystyle\vec{E}=\sum_{i=1}^{N}\vec{E}_{i}

となります。ここでNは点電荷の数で、\vec{E}_{i}は点電荷iがつくる電場です。これより電位を計算すると

 \displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\left(\sum_{i=1}^{N}\vec{E}_{i}\right)\cdot d\vec{r}\\=-\sum_{i=1}^{N}\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}_{i}\cdot d\vec{r}\\=\sum_{i=1}^{N}V_{i}

となり、電位においても重ね合わせの原理が成り立ちます。ここで、

 \displaystyle V_{i}=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}_{i}\cdot d\vec{r}

です。点電荷の電位をそれぞれ計算して足し合わせれば、全体の電位が計算できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)