電位

カテゴリ：電磁気学

　力学でエネルギーを扱うことにより計算が簡単になる問題が多くありました。そこで、ここでは電場のエネルギーを計算できるようにします。電場のエネルギーを計算できれば、エネルギー保存則でエネルギーのやり取りを計算できるようになります。

電位の一般論

　まず、電荷 $q$ の質点が電場 $\vec{E}$ 中を移動する際に受ける仕事は

　 $\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}\cdot \vec{v}dt$

で定義されました。すると電荷 $q$ が受ける力は

　 $\vec{F}=q\vec{E}$

なので、

　 $\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}}q\vec{E}\cdot\vec{v}dt=q\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{E}\cdot\vec{v}dt$

が電荷 $q$ へ電場から与えられた仕事になります。ここで、 $\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}$ はそれぞれ時刻 $t_{1},t_{2}$ での質点の位置とすると、運動方程式より得られた式

　 $\displaystyle \frac{m}{2}\vec{v}(r_{2})\cdot\vec{v}(r_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(r_{1})\cdot\vec{v}(r_{1})=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt$

により右辺が

　 $\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt\\=q\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{E}\cdot\vec{v}dt\\=q\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\=-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}+q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

となります。よって、

　 $\displaystyle\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})=-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}+q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})-q\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

が成り立ちます。ここで

　 $\displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

と置き、位置 $r_{0}$ を基準とした電位と呼びます。するとエネルギー保存則は

　 $\displaystyle \frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{1})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{1})+qV(\vec{r}_{1})=\frac{m}{2}\vec{v}(\vec{r}_{2})\cdot\vec{v}(\vec{r}_{2})+qV(\vec{r}_{2})$

と書くことができます。

電位の重ね合わせの原理

　電場は重ね合わせの原理が成り立つので

　 $\displaystyle\vec{E}=\sum_{i=1}^{N}\vec{E}_{i}$

となります。ここで $N$ は点電荷の数で、 $\vec{E}_{i}$ は点電荷 $i$ がつくる電場です。これより電位を計算すると

　 $\displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\left(\sum_{i=1}^{N}\vec{E}_{i}\right)\cdot d\vec{r}\\=-\sum_{i=1}^{N}\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}_{i}\cdot d\vec{r}\\=\sum_{i=1}^{N}V_{i}$