点電荷のつくる電場の電位

指差す女性

 前回、電位について解説しました。電位を知ることで、エネルギー保存則が使えてとても便利になります。今回は点電荷がつくる電場の電位を計算します。

点電荷のつくる電位の計算

 まず、電位の定義

 \displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

でした。点電荷の場合は基準点を無限遠方に置くと便利です。また、原点にある点電荷Qがつくる電場は

 \displaystyle\vec{E}=k\frac{Q}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}

となるので(→点電荷のつくる電場の記事)、電位は

 \displaystyle V(\vec{r})=-\int_{r=\infty}^{\vec{r}}k\frac{Q}{r^{2}}\frac{\vec{r}\cdot d\vec{r}}{r},

 \displaystyle=-\int_{\infty}^{r}k\frac{Q}{r^{2}}\frac{rdr}{r}←原点とは正反対の方へ力をうけるため、\vec{r}d\vec{r}が平行のため

 \displaystyle=\int_{r}^{\infty}k\frac{Q}{r^{2}}dr←積分の方向を変えた

 \displaystyle=\left[ -k\frac{Q}{r}\right]_{r}^{\infty}

 \displaystyle=k\frac{Q}{r}

となります。

応用例

 もし、原点からr離れた場所に電荷q>0で質量mの質点を離せば、無限遠遠方での質点の速さはエネルギー保存則より

 \displaystyle\frac{m}{2}v^{2}=qV(\vec{r})=qk\frac{Q}{r}

 \displaystyle\Leftrightarrow v=\sqrt{\frac{2kqQ}{mr}}

と計算できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)