コンデンサーにおける板間の力

コンデンサ

 コンデンサーを充電すると、片方にプラスの電荷がたまり、もう片方にマイナスの電荷がたまります。よって、これらの板の間には吸引力がはたらきます。今回はこの引き寄せる力を計算しましょう。

コンデンサーにかかる力

 クーロン力を使っても解けると思いますが、計算が面倒です。ここではエネルギーをうまく使って計算していきます。まず、コンデンサの板間の距離を大きくしてみます。当然、コンデンサ間に吸引力がはたらいているので、力がいります。これは、板の距離を大きくするとコンデンサにエネルギーを与えていることになります。

コンデンサー

 ここで、引っ張っている力の大きさをFとすると、\Delta xだけそっと距離を大きくすると仕事は

 F\Delta x

となります。この量はコンデンサのエネルギー変化

 U(x+\Delta x)-U(x)

と等しくなるので

 F\Delta x=U(x+\Delta x)-U(x)

となります。ここで\Delta xで割って極限をとると

 \displaystyle F=\frac{dU}{dx}・・・(1)

となります。コンデンサーのエネルギーは

 \displaystyle U(x)=\frac{Q^{2}}{2C}

で、

 \displaystyle C=\frac{\epsilon_{0}S}{x}

なので

 \displaystyle U(x)=\frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}S}x

となります。よって、式(1)より

 \displaystyle F=\frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}S}

が成り立ちます。電荷が大きいと板間の力が大きくなり、面積が大きいと弱くなることがわかりますね。

著者:安井 真人(やすい まさと)