アンペールの法則

ドリルで破壊する男

 ビオ・サヴァールの法則により、点電荷の動きから磁場を計算できるようになりました。今回は、ビオ・サヴァールの法則を用いて、電流が作り出す磁場を計算していきます。

アンペールの法則

いま、z軸の正の方向へ電流が流れている状況を考えます。

磁束密度の計算

このとき、この電流がつくる磁場を計算します。まず、電流をIとします。そして、座標(r,0,0)の磁場をビオ・サヴァールの法則より計算します。z軸上のzからz+\Delta zの間には単位時間あたり

 I=-env

の電荷が流れています。ここで、n,vはそれぞれ単位長さあたりの電子数と電子の平均速度です。また、\Delta zにはn\Delta z個の電子がいるので、この要素が(r,0,0)へ与える磁束密度はビオ・サヴァールの法則より

 \displaystyle\Delta \vec{B}(r,0,0)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{-e\vec{k}v}{z^{2}+r^{2}}\times \frac{r\vec{i}-z\vec{k}}{(z^{2}+r^{2})^{1/2}}n\Delta z,

 \displaystyle=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\vec{k}I\times (r\vec{i}-z\vec{k})}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\Delta z,

 \displaystyle=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{r\Delta z}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\vec{j}

となります。これを積分すれば

 \displaystyle\vec{B}(r,0,0)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{r dz}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\vec{j}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\vec{j}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{r dz}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}

となり、ここで、

 z=r\tan\theta

とすれば

 \displaystyle z^{2}+r^{2}=r^{2}(1+\tan^{2}\theta)=\frac{r^{2}}{\tan^{2}\theta},

 \displaystyle\frac{dz}{d\theta}=\frac{r}{\cos^{2}\theta}

より

 \displaystyle\vec{B}(r,0,0)=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\vec{j}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{r }{\displaystyle\frac{r^{3}}{\cos^{3}\theta}}\frac{r}{\cos^{2}\theta}d\theta,

 \displaystyle=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\vec{j}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos \theta d\theta,

 \displaystyle=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\vec{j}

が成り立ちます。よって、時計回りに磁束密度が発生していることがわかります。

磁束密度

円上に磁束密度を一周線積分すると、磁束密度は円上で一定なので

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}2\pi r=\mu_{0}I

となります。これを一般化したものがアンペールの法則である閉路Cで一周磁束密度を線積分すると、閉路Cを貫く総電流Iと等しくなります。すなわち

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}I

となり、このことをアンペールの法則といいます。

電流密度ベクトルでアンペールの法則を記述

 電流は電荷の流れなので、ベクトルでかくとすっきりします。そこで、電流密度ベクトルというものを導入します。ある位置(x,y,z)に注目し、単位面積あたり電流Iが流れる方向を\vec{e}とします。このとき、電流密度ベクトルを

 \vec{I}=I\vec{e}

と定義します。この電流密度ベクトルを使用すると、アンペールの法則は

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}\int_{S}\vec{I}\cdot\vec{n}dS

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)