ガウスの法則

パソコンと男

 クーロン力から、電荷によって電場が作られることがわかりました。このクーロンの法則を一般化するとガウスの法則が導かれます。今回は、このガウスの法則について紹介します。

点電荷とガウスの法則

 いま原点に電荷Qの点電荷があるとします。このとき、電場はクーロンの法則より

 \displaystyle\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}

となることを学びました。いま、原点を中心とする半径Rの閉曲面Sを考えます。この閉曲面Sで電場を表面積分をしてみます。つまり、

 \int_{S}\vec{E}\cdot\vec{n}dS

を計算するのです。\vec{n}は表面に垂直な単位ベクトルで、今回の場合は

 \displaystyle\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}

となります。図を参考に計算を進めると

極座標

 \displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}r\sin\theta d\phi rd\theta\\=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\sin\theta d\phi d\theta\\=\frac{Q}{\epsilon_{0}}

となります。この式は電場の表面積分の値は、曲面内の電荷数に比例することを示しています。この性質は、一般の閉曲面にたいして成り立ち。

 \displaystyle\int_{S}\vec{E}\cdot\vec{n}dS=\frac{Q}{\epsilon_{0}}

が導かれます。これをガウスの法則と呼びます。さらに点電荷でなく、電荷密度(単位体積あたりの電荷)を\rho(x,y,z,t)とすれば、

 \displaystyle Q=\int_{V}\rho dV

より

 \displaystyle\int_{S}\vec{E}\cdot\vec{n}dS=\int_{V}\rho dV

となります。ここでVは閉曲面Sによって囲まれた空間です。

著者:安井 真人(やすい まさと)