アンペールの法則の一般化

反比例

 これまで電荷を移動させたときに磁場にどういう影響があるか調べました。次に、電場を変化させた際に、磁場がどのように変化するかについて考えます。

コンデンサーに交流を流した際の磁場

 電場を時間変化させるために、以下の図のようなコンデンサーを考えます。

コンデンサー

このコンデンサーに交流を流せば、コンデンサー間の電場(面に垂直な大きさ)は

 \displaystyle E=\frac{D}{\epsilon_{0}}=\frac{V(t)}{d}

と変化することは以前学びました。この電場の変化に応じて磁場がどのように変化するのかに興味があるわけです。実際に実験してみると、以下の様な法則で記述できることがわかりました。

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\int_{S}\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot\vec{n}dS

 では、この式を使って、コンデンサーの中の磁場を計算します。円状のコンデンサーの軸から半径Rの磁場を考えます。すると

 \displaystyle B\times 2\pi R=\frac{\partial D}{\partial t}\pi R^{2}\\\Leftrightarrow B(R)=\frac{\partial D}{\partial t}\frac{R}{2}=\frac{R}{2d\epsilon_{0}}\frac{dV(t)}{dt}

が得られます。

一般化したアンペールの法則

 電場が一定の場合の磁場はアンペールの法則により

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}\int_{S}\vec{I}\cdot\vec{n}dS

でした。そして、電荷変化がなく電場のみが変化する場合の磁場は今回のことから

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}\int\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot\vec{n}dS

でした。これらを統合すると

 \displaystyle\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}\int_{S}\left(\vec{I}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\right)\cdot\vec{n}dS

となります。これを一般化したアンペールの法則と呼びます。

著者:安井 真人(やすい まさと)