ロケットの加速問題を解く

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力学の応用問題として、ロケットの加速についての問題を解いてみましょう。

まず、その前に、ロケットがどのようにして宇宙空間を進むのかを説明します。

 ロケットの推進原理

ロケットが、進む推進力はヘリコプターのようなものとは異なります。

もしも、ロケットがプロペラで宇宙空間にいたら、前進できません。

なぜなら、プロペラは周りの空気を押し出すことで力を得るからです。

宇宙空間では空気がないので、空気を利用することができないのです。

 

ではどうするかというと、ロケットは作用反作用を利用して進みます。

ガスを噴射して、そのガスからの反作用によりロケットは推進力を得ることができます。

昔、テレビ番組でボートに石を大量にのせて、その石を投げることでボートを進めるというものがありました。

これもロケットの推進原理と同じです。

 

さて、ロケットの推進の原理はわかったと思うので問題を解いていきます。

 

以下のように時刻tにおいて、質量m(t)のロケットが速度v(t)で進んでいます。

Roketto

そして、微小時間\Delta tの間、単位時間あたり質量\alphaのガスをロケットに対し、u_{0}の速さで噴射しているとします。

Roke

このとき、ロケットの速度v(t+\Delta t)はどうなるでしょうか?

 

この問題は、運動量保存則を使用することで簡単に解けます。

ガスを噴射する前と噴射した後で、質量保存則を使えば

 m(t)v(t)=(m(t)-\alpha\Delta t)v^{\prime}(t)+\alpha\Delta t(v(t)-u_{0})

が得られます。これを計算すると

 \displaystyle m(t)v(t)=(m(t)-\alpha\Delta t)v(t+\Delta t)+\alpha\Delta t(v(t)-u_{0})\\\Leftrightarrow v(t+\Delta t)=\frac{m(t)v(t)-\alpha\Delta t(v(t)-u_{0})}{m(t)-\alpha\Delta t}

となり、解が得られます。

問題1と同じように噴射を続けているとします。このとき、時刻0で速度がv_{0}で質量がM_{0}の場合、時刻tでの速度v(t)はいくらになるでしょうか?

 

前の解答より、

 \displaystyle\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t)=\frac{\alpha\Delta t}{m(t)-\alpha\Delta t}u_{0}

となります。ここで、微小時間を限りなく小さくすれば、m(t)>>\alpha\Delta tなので、

 \displaystyle\Delta v=\frac{\alpha\Delta t}{m(t)}u_{0}

が得られます。さらに、

 m(t)=M_{0}-\alpha t

より、

 \displaystyle\Delta v=\frac{\alpha\Delta t}{M_{0}-\alpha t}u_{0}

となります。あとは、時刻0からtまで積分すれば、

(左辺)\displaystyle =\int_{v_{0}}^{v(t)}dv=v(t)-v(0)

(右辺)=\displaystyle\int_{0}^{t}\frac{u_{0}\alpha}{M_{0}-\alpha t}\Delta t\\=-u_{0}\int_{0}^{t}\frac{-\alpha}{M_{0}-\alpha t}\\=-u_{0}\left[\ln|M_{0}-\alpha t|\right]_{0}^{t}\\=-u_{0}\ln\frac{M_{0}-\alpha t}{M_{0}}\\=u_{0}\ln\frac{M_{0}}{M_{0}-\alpha t}

が得られます。よって、

 \displaystyle v(t)=v(0)+u_{0}\ln\frac{M_{0}}{M_{0}-\alpha t}

が解となります。

 

 

式を見ると、ロケットの質量が燃料より十分大きいと、lnが0になりまったく進みません。

ですから、ロケットが重くなると、その分燃料も多く積む必要があります。

 

また、たとえ燃料を多く積んでも、ガスの噴射速度が低いとあまり速度をあげることができません。

 

ゆえに

  1. ロケットの軽量化
  2. ガス噴射の速度向上

がロケット性能にとって重要であることがわかります。

 

ボートに石を積んで、石を投げることで進む場合も同じです。

なるべくボートに重い石を積んで、進行方向とは逆方向に力いっぱい石を投げることがボートを進めるの大切です。

日頃から体は鍛えておきましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)