加速度

加速度

 これまでに質点の位置、速度と学んできました。そして、速度は位置ベクトルを時間で一階微分したものでした。ここでは、速度をさらに時間で一階微分した加速度について解説します。

加速度

 前回、速度ベクトルは位置ベクトルを時間で一階微分したものだと説明しました。今回説明する加速度は速度ベクトルを時間で一階微分したものです。言い換えると、位置ベクトルを二回時間で微分したものが加速度ベクトルになります。このことを式でまとめると以下のようになります。

加速度

ある質点の位置が\vec{r}(t)であるとき、速度\vec{v}(t)と加速度\vec{a}(t)はそれぞれ

 \displaystyle\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}

 \displaystyle\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}

となる。

 速度の概念を正しく理解していれば、すんなりわかるかと思います。

 では、問題をといて今回は終わりにしましょう。

質点の位置ベクトル

 \displaystyle \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}e^{t}\\ \sin 2t \\ \cos t\end{array}\right)

の速度ベクトルと加速度ベクトルを計算してください。

ただ、時間で微分するだけなので、微分が得意な方はすぐに計算できると思います。

計算すると速度ベクトルは

 \displaystyle\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left(\begin{array}{c}e^{t}\\2\cos 2t\\-\sin t\end{array}\right)

となり、加速度ベクトルは

 \displaystyle\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left(\begin{array}{c}e^{t}\\-4\sin 2t\\-\cos t\end{array}\right)

となります。

 微分を理解していれば、速度と加速度は簡単に理解できます。しかし、微分を知らないとさっぱりわからないともいえます。くどいようですが、

微分を勉強していない人は、力学を学ぶ前に微分とベクトルを勉強しておきましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)