重力下での質点の運動

重力下での質点の運動

 ニュートンの第二法則で力を定義してきました。ここでは、その応用例として、重力下での質点の運動を計算します。ここでの学習により、ボールの起動が放物線を描く理由がわかります。

 重力加速度

 では、重力が質量mの質点にかかっている際の運動について考えます。まず、重力ですが、z軸を鉛直上向きに設定すると

 \displaystyle\vec{F}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-mg\end{array}\right)

が重力となります。重力は質量に比例して大きくなります。

重力加速度

 重力は質力に比例する。そして、その比例定数g重力加速度と呼ぶ。重力加速度は9.8 [m/s^{2}]くらいの大きさで、地上の位置によって微妙に変わる。

 それでは、実際に重力下の質点の運動を解析して理解していきましょう。

運動方程式を解く

 位置ベクトルを求めるために運動方程式を立てます。すると

 \displaystyle m\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\vec{F}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-mg\end{array}\right)

となります。ここで、z軸は鉛直上向きに設定してあります。

x成分

 まず、x成分の微分方程式

 \displaystyle m\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=0

を解くと

 \displaystyle \frac{dv_{x}(t)}{dt}=\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=0 ←mで割った

 \displaystyle \Rightarrow v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=C ←時間で積分した

 \displaystyle \Rightarrow x(t)=Ct+D ←時間で積分した

となります。細かい計算手順は以下にあるMEMOを参照してください。ここで、初期条件を

 \displaystyle \vec{r}(0)=\left(\begin{array}{c}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{array}\right),\\ \vec{v}(0)=\frac{d\vec{r}}{dt}(0)=\left(\begin{array}{c}v_{x0}\\v_{y0}\\v_{z0}\end{array}\right)

とすれば、

 \displaystyle x(0)=D=x_{0},\\ v_{x}(0)=C=v_{x0}

より

 x(t)=v_{x0}t+x_{0}

となります。

 微分方程式の解き方を簡単に説明しておきます。

 \displaystyle \frac{dv_{x}(t)}{dt}=\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=0

の場合は、両辺をdtでかけて

 dv_{x}=0

とし、時刻0からtで積分します。すると

 \displaystyle \int_{0}^{t}dv_{x}=0\\\Rightarrow v_{x}(t)-v_{x}(0)=0\\\Rightarrow v_{x}(t)=v_{x}(0)=v_{x0}

となります。更に位置をもとめるため、

 \displaystyle \frac{dx}{dt}=v_{x0}

dtをかけ

 dx=v_{x0}dt

とします。そして、時刻0からtまで積分して

 \displaystyle \int_{0}^{t}dx=\int_{0}^{t}v_{x0}dt\\\Rightarrow x(t)-x(0)=v_{x0}(t-0)\\\Rightarrow x(t)=x(0)+v_{x0}t=x_{0}+v_{x0}t

がえられます。

 y成分

 y(t)に関しても同様にして

 y(t)=v_{y0}t+y_{0}

となります。

 z成分

 さて、最後にz軸成分の微分方程式

 \displaystyle m\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=-mg

について解いていきます。

 \displaystyle\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=-gmで割った

 \displaystyle\Rightarrow \frac{dz}{dt}=-gt+v_{z0}←時間で積分し、初期条件\displaystyle\frac{dz}{dt}(0)=v_{z0}を使った

 \displaystyle\Rightarrow z(t)=-\frac{gt^{2}}{2}+v_{z0}t+z_{0}←時間で積分し、初期条件z(0)=z_{0}を使った

となります。

まとめ

 以上をまとめると位置ベクトルは

 \displaystyle\vec{r}=\left(\begin{array}{c}v_{x0}t+x_{0}\\v_{y0}t+y_{0}\\\displaystyle-\frac{gt^{2}}{2}+v_{z0}+z_{0}\end{array}\right)

と求まります。この式からz方向へ二次になっているので、質点の軌道は放物線を描くことがわかりますね。

 以上のように、力学の問題は基本的に運動方程式を立てて、その微分方程式を解くだけです。微分方程式が解けるかがカギになるので数学をしっかり勉強しておきましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)