極座標

極座標

 これまでデカルト座標系(直交座標系)で質点の位置を記述してきました。しかし、別に直交座標系でなくても位置の記述は可能です。その具体例を示すため、ここでは別の座標系である極座標を紹介します。極座標を使うことで、見通しが良くなる運動があり多くの場面で利用可能です。

 極座標と直交座標

 二次元座標での位置をデカルト座標系で指定する場合は例えば次の場合は

デカルト座標

デカルト座標

 \displaystyle\left( \begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right)

となります。

 一方、極座標では、原点からの距離とx軸との成す角で記述します。

極座標

極座標

よって、座標は

 \displaystyle\left( \begin{array}{c}r\\ \theta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\sqrt{2}\\ \pi/4\end{array}\right)

となります。

極座標と直交座標との関係

 ではデカルト座標(x,y)と極座標(r,\theta )との関係を考えてみましょう。ここで注意ですが、

 r\geq 0,0\leq \theta <2\pi

です。関係を導くのは簡単で、下の図より

デカルト座標と極座標の関係

デカルト座標と極座標

 x=r\cos \theta

 y=r\sin \theta

がデカルト座標と極座標との関係となります。この式を使えば相互に変換できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)