振り子の運動

振り子の運動

 前回、極座標について解説しました。今回はこの極座標を使って振り子の運動を解いていきます。振動する運動なので、バネの運動の復習もしておいていください。

 振り子の運動を解く

 まず、以下のような長さl_{0}で質量mの振り子を考えます。

振り子

振り子

ここでTは紐にかかる張力を表します。そして、運動方程式を立てると

 m\ddot{x}=-T\sin \theta,・・・(1)

 m\ddot{y}=mg-T\cos \theta・・・(2)

 x^{2}+y^{2}=l_{0}^{2}・・・(3)

となります。ここで

 \displaystyle\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\ddot{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}

を意味します。

時間で微分する際は点を頭に一つ付けるといったルールでよく使う。

また、式(3)は質点が半径l_{0}上でしか運動できないという拘束条件です。もちろん、z(t)=0という奥行きへ移動しない点も拘束条件としてあります。

 極座標へ変換

式(1)と(2)にはまだx,yが入っていて極座標になっていません。そこで、

 x=l_{0}\sin \theta,y=l_{0}\cos \theta・・・(4)

を式(1)と(2)に代入していきます。この変換には拘束条件(3)はすでに含まれています。代入する前に式(1)と(2)のT

式(1)×\cos\theta―式(2)×\sin \theta

により消去します。計算すると

 m\left(\ddot{x}\cos \theta -\ddot{y}\sin\theta \right)=-mg\sin\theta・・・(5)

となります。代入するため、式(4)を時間で微分すると

 \dot{x}=l_{0}\dot{\theta}\cos \theta,\dot{y}=-l_{0}\dot{\theta}\sin\theta

となり、さらに微分すると

 \ddot{x}=l_{0}\ddot{\theta}\cos\theta-l_{0}\dot{\theta}^{2}\sin\theta

 \ddot{y}=-l_{0}\ddot{\theta}\sin\theta-l_{0}\dot{\theta}^{2}\cos\theta

となります。これを式(5)に代入すると

 \displaystyle ml_{0}\ddot{\theta}=-mg\sin\theta\Leftrightarrow \ddot{\theta}=-\frac{g}{l_{0}}\sin\theta・・・(6)

が得られます。

 近似して解く

式(6)は解くことは困難です。そこで、\theta <<1のように微小振動している場合について式(6)を解くことにします。\theta<<1なので、テイラー展開より

 \sin\theta=\theta

という近似が使え、式(7)は

 \displaystyle\ddot{\theta}=-\frac{g}{l_{0}}\theta・・・(8)

となります。テイラー展開とは、n次関数による近似のことです。

今回の\sin\theta\thetaが小さい時

 \sin\theta\approx \sin 0+\theta\left(\frac{d}{d\theta}\sin\theta\right)_{\theta=0}\\=0+\theta\cos 0\\=0+\theta\\=\theta

と一次関数で近似することが可能です。

式(8)はバネの運動と同じなので、その際の知識を使って

 \displaystyle\theta (t)=C_{1}\sin \left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)+C_{2}\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)

となります。C_{1},C_{2}は初期条件より決定することができます。

二階の線形微分方程式は解がf_{1},f_{2}見つかれば、一般解が

 \alpha f_{1}+\beta f_{2}

となります。今回の場合は、

 \displaystyle\sin \left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)\\\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)

が解なので

 \displaystyle\theta (t)=C_{1}\sin \left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)+C_{2}\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}\right)

が一般解となります。

ここで振り子の周期を計算すると

 \displaystyle T \sqrt{\frac{g}{l_{0}}}=2\pi \Leftrightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{l_{0}}{g}}

となります。この式をみると、糸の長さが長いほど周期が長くなることがわかります。5円玉と糸があればできるので試してみてください。

著者:安井 真人(やすい まさと)