比熱

池と葉っぱ

 1molの物質を1度暖めるのに必要な熱をモル比熱といいます。モル比熱が高いと、1度暖めるのに多くの熱が必要となるので暖まりにくい物質となります。一方、モル比熱が低いと、すぐに温度があがります。熱しやすく冷めやすい物質がモル比熱の低い物質であるということになります。

 では、ここで理想気体のモル比熱を計算します。まず、1molの理想気体の内部エネルギーは

 \displaystyle U=\frac{3}{2}RT

でした。これを1ど温度をあげれば内部エネルギー変化は

 \displaystyle\Delta U=\frac{3}{2}R(T+1)-\frac{3}{2}RT=\frac{3}{2}R

となります。熱を求めるには、熱力学第一法則と今回は理想気体の体積を一定のまま熱したので(定積過程といいます)、外部から仕事はないのでW=0を使うと

 \Delta U=Q+W=Q

より

 \displaystyle Q=\frac{3}{2}R

となり、モル比熱は

 \displaystyle C_{V}=\frac{3}{2}R・・・(1)

となります。今回、体積一定でのモル比熱なので定積モル比熱と呼びます。

 続いて、体積一定ではなく圧力一定でモル比熱を計算します(定圧過程といいます)。内部エネルギー変化は同様にして

 \displaystyle\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T

となります。続いて、理想気体全体へ与える仕事は

 \displaystyle W=-\int_{V_{0}}^{V_{1}}PdV=P\int_{V_{0}}^{V_{1}}dV=-P(V_{1}+V_{0})

となり、状態方程式より

 W=-PV_{1}+PV_{2}=-nRT_{1}+nRT_{2}=-nR\Delta T

となります。以上より、熱は

 \displaystyle\Delta U=W+Q\Leftrightarrow Q=\Delta U-W=\frac{5}{2}nR\Delta T

となります。よって、モル比熱は1molあたりの物質が1度上がる際の熱なので

 \displaystyle C_{P}=\frac{5}{2}R・・・(2)

となります。今回は圧力一定でのモル比熱なので定圧モル比熱と呼びます。

 定積、定圧ときたら定温モル比熱もあるのでは?と思うかもしれませんが、モル比熱の定義から温度を変化させないとモル比熱を求めることができません。よって、定温モル比熱はありません。

 さて、以上の式(1)と(2)より

 C_{P}=C_{V}+R

という関係があることがわかります。この関係式を理想気体に対するマイヤーの関係といいます。

著者:安井 真人(やすい まさと)