断熱過程

断熱過程

断熱過程単原子分子の入ったピストンを断熱材でくるみ、ゆっくり引っ張る状況を考えます。

すると、理想気体全体にする仕事は

 dW=-PdV

となります。ここで、dVは限りなく0に近い体積変化です。限りなく0日会ので、圧力はほぼ一定と見なすことができます。

また、内部エネルギーは単原子分子なので

 \displaystyle U=\frac{3}{2}nRT=nC_{V}T

となり、内部エネルギー変化は

 dU=nC_{V}dT

となります。ここも同様にdTは限りなく0に近い変化です。

 

断熱材で熱が入らないので、熱力学第一法則より

 dU=dW

 \Leftrightarrow nC_{V}dT=-PdV

 \displaystyle\Leftrightarrow nC_{V}dT+\frac{nRTdV}{V}=0

 \displaystyle\Leftrightarrow \frac{dT}{T}+\frac{R}{C_{V}}\frac{dV}{V}=0

が成り立ちます。これを積分すると

 \displaystyle\int_{T_{0}}^{T_{1}}\frac{dT}{T}+\int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{R}{C_{V}}\frac{dV}{V}=0

 \displaystyle\Leftrightarrow \ln\frac{T_{1}}{T_{0}}+\frac{R}{C_{V}}\ln\frac{V_{1}}{V_{0}}=0

 \displaystyle\Leftrightarrow \ln\frac{T_{1}}{T_{0}}\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)^{R/C_{V}}=0=\ln 1

 \displaystyle\Leftrightarrow \frac{T_{1}}{T_{0}}\left(\frac{V_{1}}{V_{0}}\right)^{R/C_{V}}=1

 \displaystyle\Leftrightarrow T_{1}V_{1}^{R/C_{V}}=T_{2}V_{2}^{R/C_{V}}

となります。ここで、比熱比

 \displaystyle\gamma =\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{5R/2}{3R/2}=\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}=1+\frac{R}{C_{v}}

を使うと

 T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{1}V_{2}^{\gamma-1}・・・(1)

となります。この式を状態方程式PV=nRTからP,Vの関係でかくと

 \displaystyle\frac{P_{1}V_{1}}{nR}V_{1}^{\gamma-1}=\frac{P_{1}V_{1}}{nR}V_{1}^{\gamma-1}

 \Leftrightarrow P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}・・・(2)

とかけます。式(1)と(2)をポアソンの公式といいます。

 

 

以上の結果から初期の状態を

 \displaystyle(P_{1},V_{1}),T_{1}=\frac{P_{1}V_{1}}{nR}

とし、ゆっくり体積をV_{2}にするとポアソンの公式から圧力は

 \displaystyle P_{2}V_{2}^{\gamma}=P_{1}V_{1}^{\gamma}\Leftrightarrow P_{2}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}

と求まります。また、温度も状態方程式から

 \displaystyle T_{2}=\frac{P_{2}V_{2}}{nR}=\frac{P_{1}V_{2}}{nR}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}

求めることができます。温度変化T_{2}-T_{1}が分かっているので、内部エネルギ変化も

 \displaystyle\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T

から計算できます。仕事は熱力学第一法則より

 \Delta U=W

計算できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)