波の反射

鏡

 再び弦の運動について考えましょう。弦の運動は波動方程式に従うので、解は進行波と後退波を重ね合わせた形になります。例えば、進行波をf(x-ct)、後退波をg(x+ct)とすれば、波は

 y(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)

で記述できます。ここで、cは波の速度です。

固定端での波の反射

進行波が端にあたる

 進行波が弦の端にたどり着いたらどうなるかについて考えます。ここでは、弦の端を原点x=0にとり、進行波が左からくるとします。弦の端では弦は上下に動けないように固定されているので

 y(0,t)=0・・・(1)

となります。式(1)が成り立つ端を固定端(こていたん)と呼びます。また、進行波を

 f(x-ct)

とします。よって、はじめのうちは

 y(x,t)=y_{1}(x,t)=f(x-ct)

が成り立ちます。

波の反射

しかし、進行波が端にあたるとこれでは式(1)がなりたたなくなります。そこで、後退波を加える必要があります。すると

 y(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)

となります。ここで、式(1)を使えば

 y(0,t)=f(-ct)+g(ct)=0\Leftrightarrow g(ct)=-f(-ct)

が任意のtについて成り立つので

 g(X)=-f(-X)

となります。これは、関数g(X)が関数f(X)と原点対象になっていることを示しています。よって、

 y(x,t)=f(x-ct)-f(-x-ct)

が解となります。このことから、波が弦の端にあたると反転して戻ってくることがわかります。この現象を波の反射と呼びます。

自由端での波の反射

自由端での反射

固定端では、端で振幅が0でした。ここでは、端で微分値が0の場合

 \displaystyle\frac{dy}{dx}(0)=0・・・(2)

について考えます。このような端のことを自由端(じゆうたん)といいます。図は自由端の例です。黄色い固定された棒に赤いリングとひもが取り付けられています。そして、赤いひもは引っ張られています。こうすると自由端になります。ただし、リングと黄色い棒の摩擦はないものとします。さて、式(2)が成り立たなければいけないので、進行波をf(x-ct)とし後退波をg(x+ct)とすれば

 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}(x-ct)+\frac{dg}{dx}(x+ct)

となるので式(2)より

 \displaystyle\frac{dy}{dx}(0,t)=\frac{df}{dx}(-ct)+\frac{dg}{dx}(ct)=0\Leftrightarrow \frac{dg}{dx}(ct)=-\frac{df}{dx}(-ct)

が任意のtについて成り立ちます。よって

 \displaystyle\frac{dg}{dx}(x)=-\frac{df}{dx}(-x)

となり、これを積分すると

 g(x)=f(-x)+C

となります。

自由端での波の反射

進行波がないときは後退波もないので

 g(x)=f(-x)

が成り立ちます。よって、自由端の場合は波が反転しないで帰ってくることになります。

著者:安井 真人(やすい まさと)