定常波

海の波

 同じ振幅A,振動数fと波長\lambdaで、進む方向がことなる正弦波

  • \displaystyle y_{1}(x,t)=A\sin\left( 2\pi\left( ft+\frac{x}{\lambda}\right)+\delta_{1}\right),
  • \displaystyle y_{2}(x,t)=A\sin\left( 2\pi\left( ft-\frac{x}{\lambda}\right)+\delta_{2}\right),

が交わった波を考えます。重ね合わせると公式

\displaystyle\sin A+\sin B=2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)

を使うと

 y=y_{1}+y_{2}

 \displaystyle=2A\cos\left( 2\pi\frac{x}{\lambda}+\frac{\delta_{1}-\delta_{2}}{2}\right)\sin\left(2\pi ft+\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2}\right)

となり

  • 空間だけの項:\displaystyle\cos\left( 2\pi\frac{x}{\lambda}+\frac{\delta_{1}-\delta_{2}}{2}\right)
  • 時間だけの項:\displaystyle\sin\left(2\pi ft+\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2}\right)

が現れます。

 空間だけの項が0だと、たとえ時間が経過しても常に0となります。この部分を(ふし)と呼びます(図の赤点)。一方、空間だけの項が1だと、振幅2Aで振動することになり、(はら)と呼びます(図の赤点との中間点)。

定常波

節と腹の部分を計算すると

節:\displaystyle 2\pi\frac{x}{\lambda}+\frac{\delta_{1}-\delta_{2}}{2}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi ,

\displaystyle\Leftrightarrow x=\frac{\lambda}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)+\frac{\lambda}{2\pi}\frac{\delta_{2}-\delta_{1}}{2},

腹:\displaystyle 2\pi\frac{x}{\lambda}+\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2}=n\pi ,

\displaystyle\Leftrightarrow x=\frac{\lambda}{2}n-\frac{\lambda}{2\pi}\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2},

となります。この波は節や腹の位置が固定されることから定常波と呼ばれます。

著者:安井 真人(やすい まさと)