波の干渉

喧嘩

 いま二つの地点A,Bで波が発生しているとしましょう。地点A,Bにより地点Cにつくられる波はそれぞれ

 \displaystyle y_{A}=a\sin\left\{ 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_{A}}{\lambda}\right)+\delta_{A}\right\}=a\sin\theta_{A},\\ y_{B}=a\sin\left\{ 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r_{B}}{\lambda}\right)+\delta_{B}\right\}=a\sin\theta_{B}

となります。ここで、T,\lambda,aはそれぞれ周期と波長と振幅です。ここでは、地点A,Bでつくられる波の周期と波長と振幅は等しいとしています。また、r_{A},r_{B}はそれぞれ地点Cと地点A,Bとの距離で、\delta_{A},\delta_{B}は位相を表しています。

重ね合わせてみる

 重ね合わせの原理が成り立つので、地点Cの波は

 \displaystyle y=y_{A}+y_{B}\\=a\left(\sin\theta_{A}+\sin\theta_{B}\right)\\=2a\cos\left(\frac{\theta_{B}-\theta_{A}}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_{A}+\theta_{B}}{2}\right)\\=2a\cos\left(\frac{\pi(r_{A}-r_{B})}{\lambda}+\frac{\delta_{B}-\delta_{A}}{2}\right)\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{r_{A}+r_{B}}{2\lambda}\right)+\frac{\delta_{A}+\delta_{B}}{2}\right)

となります。ここで注目して欲しいのは\cosには時間の項が入っていないということです。よって、もし

 \displaystyle \frac{\theta_{A}-\theta_{B}}{2}=n\pi+\frac{\pi}{2}\\ \Leftrightarrow \Delta \theta=\theta_{A}-\theta_{B}=(2n+1)\pi

なら地点Cの振幅は常に0になります。一方

 \displaystyle \frac{\theta_{A}-\theta_{B}}{2}=n\pi \Leftrightarrow \Delta \theta=\theta_{A}-\theta_{B}=2n\pi

なら地点Cの振幅は最大になります。つまり

  • \Delta \theta =(2n+1)\piのとき、弱め合い、振幅は0
  • \Delta \theta=2n\piのとき、強め合い、振幅は2a

となります。

 さらに計算を進めると

 \displaystyle \Delta \theta=\frac{2\pi(r_{A}-r_{B})}{\lambda}+\frac{\delta_{2}-\delta_{1}}{2}\\=\frac{2\pi\Delta r}{\lambda}+\Delta

なので

  • \displaystyle\Delta r =\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda+\frac{\lambda}{2\pi}\Deltaのとき、弱め合い、振幅は0
  • \displaystyle\Delta r=n\lambda+\frac{\lambda}{2\pi}\Deltaのとき、強め合い、振幅は2a

 となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)