うなり

時計

二つの異なる周波数の音を重ね合わせるとうなりが生じます。このうなりを式で表現してみましょう。まず、二つの波を

 y_{A}(t)=a\sin(2\pi f_{A}t+\theta_{A})\\ y_{B}(t)=a\sin(2\pi f_{B}t+\theta_{B})

とします。これらを重ね合わせると

 \displaystyle y=y_{A}+y_{B}\\=a\left( \sin(2\pi f_{A}t+\theta_{A})+\sin(2\pi f_{B}t+\theta_{B})\right)\\=2a\cos \left(\pi(f_{B}-f_{A})t+\frac{\theta_{B}-\theta_{A}}{2}\right)\sin \left(\pi(f_{A}+f_{B})t+\frac{\theta_{A}+\theta_{B}}{2}\right)

となります。これは、

  1. 周波数の低い成分:\cos \left(\pi(f_{B}-f_{A})t+\frac{\theta_{B}-\theta_{A}}{2}\right)
  2. 周波数の高い成分:\sin \left(\pi(f_{A}+f_{B})t+\frac{\theta_{A}+\theta_{B}}{2}\right)

の積が実際に聴こえる音になります。もし、低い方の周波数が1Hzで、高い方が100Hzなら、100Hzの音が0.25秒おきに大きくなったり小さくなったりして聴こえます。

著者:安井 真人(やすい まさと)