微分方程式

あげあげ

微分を含む方程式を微分方程式といい、物理ではよく利用されます。ここでは関数f(x)に関する微分方程式

 \displaystyle a\frac{df}{dx}+b=0,a\neq 0・・・(1)

について考えます。

解き方

微分方程式を変形すると

 \displaystyle \frac{df}{dx}=-\frac{b}{a}・・・(2)

となります。この式が意味していることは、「微分すると-b/aになる関数f(x)はなにか?」ということです。これは不定積分の問題と同じなので

 \displaystyle f(x)=\int \left( -\frac{b}{a}\right) dx=-\frac{b}{a}x+C

となります。実際に式(1)に代入すると

 \displaystyle a\frac{d}{dx}\left(-\frac{b}{a}x+C\right)+b=a\left(-\frac{b}{a}\right)+b=-b+b=0

と成り立つことがわかります。積分定数C

 f(0)=0

といった初期条件により決定されます。例えば、f(0)=0という初期条件なら

 \displaystyle f(0)=-\frac{b}{a}0+C=C=0\Leftrightarrow C=0

Cが得られます。よって解は

 \displaystyle f(x)=\frac{b}{c}x

となります。

二階の微分方程式も解いてみる

続いて、

 \displaystyle a\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+b=0・・・(3)

について解いてみます。この微分方程式も式変形をして

 \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{df}{dx}=-\frac{b}{a}

となります。この式と(1)はf\frac{df}{dx}が違うだけで同じ形をしています。ですから、

 \displaystyle \frac{df}{dx}=-\frac{b}{a}x+C

となります。この式をさらに積分して

 \displaystyle f(x)=-\int\frac{b}{a}xdx+\int Cdx=-\frac{b}{2a}x^{2}+Cx+D

となり解が得られます。ここで、C,Dは積分定数です。

これらの積分定数は初期条件により決定されます。例えば、

 \displaystyle f(0)=1,\\ \frac{df}{dx}(1)=0

ならば、

 \displaystyle f(0)=D=1, \\ \frac{df}{dx}(1)=-\frac{b}{2a}+C+D=0

より

 \displaystyle C=\frac{b}{2a}-1, \\ D=1

が得られます。よって

 \displaystyle f(x)=-\frac{b}{2a}x^{2}+\left(\frac{b}{2a}-1\right)x+1

が解となります。

最後に

式(1)のように微分の次数が1のものを一階の微分方程式といい、式(3)のような微分方程式を二階の微分方程式といいます。n階の微分方程式はn階積分しなければならないので、初期条件により決まる定数がn個必要になります。

著者:安井 真人(やすい まさと)