線形微分方程式

線

今回は

 \displaystyle \frac{d^{2}f}{dx^{2}}+af=0,a>0・・・(1)

のような方程式を考えます。この方程式はよくバネの運動とかに出てくるものです。この方程式を変形すると

 \displaystyle \frac{d^{2}f}{dx^{2}}=-af

となります。二回微分したら-afとなる関数f(x)を考えると

 \displaystyle f_{1}(x)=\sin x\sqrt{a},f_{2}(x)=\cos x\sqrt{a}

が思い当たります。実際に二回微分すると

 \displaystyle \frac{d^{2}f_{1}}{dx^{2}}=\sqrt{a}\cos x\sqrt{a}=-a\sin x\sqrt{a}=-af_{1}(x)

 \displaystyle \frac{d^{2}f_{2}}{dx^{2}}=-\sqrt{a}\sin x\sqrt{a}=-a\cos x\sqrt{a}=-af_{2}(x)

となります。さらに考察をすすめると、

 \displaystyle f(x)=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)

も解であることがわかります。ここで、C_{1},C_{2}\in \mathbb{R}は定数です。実際に、

 \displaystyle \frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\frac{d^{2}}{dx^{2}}(C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2})

 \displaystyle =C_{1}\frac{d^{2}f_{1}}{dx^{2}}+C_{2}\frac{d^{2}f_{2}}{dx^{2}}

 \displaystyle =C_{1}(-af_{1})+C_{2}(-f_{2})

 =-a(C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2})

 =-af

と方程式に従っていることがわかります。このように微分方程式のを満たすある解f_{1},f_{2}がつくる関数f(x)=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(c)も微分方程式を満たす場合、その微分方程式を線形微分方程式といいます。よって微分方程式(1)は線形微分方程式です。このことから

 f(x)=C_{1}\sin x\sqrt{a}+C_{2}\cos x\sqrt{a}・・・(2)

も解となります。微分方程式(1)は二階の微分方程式なので定数が二つ出てくるはずです。一方、解は定数が二つ含んでおり、(2)が微分方程式(1)の解となることがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)