線形でない微分方程式

ホワイトボードの女性

今回は

\displaystyle a\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+b\frac{df}{dx}+cf=g(x)・・・(1)

となる関数f(x)を求めます。この微分方程式はg(x)=0なら前回行った方法で

f(x)=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)・・・(2)

といった感じで解を求めることができました。しかし、今回はg(x)が右辺にあって厄介です。ですが、この微分方程式は二階の微分方程式なので、定数が二つでてきます。(2)を見ると定数が二つあります(C_{1},C_{2})。そこで、(2)をうまく使うことを考えます。

 では、仮に微分方程式(1)のある解(特殊解という)が分かったとしましょう。その解をf_{0}(x)とすると

 f(x)=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)+f_{0}(x)

も(1)の解であることがわかります。しかも、定数が二つあるので一般解となります。つまり、

  • g(x)=0として線形微分方程式を解く
  • 頑張って微分方程式(1)の解f_{0}(x)を一つ見つける
  • f(x)=C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2}+f_{0}が解となる

という手順で解くことができます。第二項目のところは問題に応じて見つけるしかありません。ためしに例題をといてみます。

 \displaystyle\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+f=x

まず、

 \displaystyle\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+f=0

を解くと、

 \displaystyle f_{a}(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x

となります。次に特殊解を頑張って見つけると

 f_{b}(x)=x

がいいことがわかります。よって解は

 f(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+x

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)