合成関数の微分

合成関数の微分

関数の中にさらに関数があるようなものを合成関数といいます。

例えば、(x+1)^{2}のように2次関数の中にx+1という関数があるとみれば合成関数となります。

ここではこのような合成関数の微分方法について解説します。

 合成関数の微分

関数y=y(u),u=u(x)において、yxで微分することを考えます。

uの変化

まず、xが微少量\Delta x変わったとします。するとuの変化は

 \Delta u=u(x+\Delta x)-u(x)

 \displaystyle=u(x)+\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})-u(x)

 \displaystyle=\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})・・・(1)

となります。

 yの変化

次に、yの変化\Delta y

 \displaystyle\Delta y=y(u+\Delta u)-y(u)=\frac{df}{du}\Delta u +O((\Delta u)^{2})・・・(2)

となります。また、式(1)より\Delta uのオーダーは\Delta xのオーダーと等しくなるので

 \displaystyle\Delta y=\frac{df}{du}\Delta u +O((\Delta x)^{2})・・・(3)

となります。

 まとめ

式(3)に式(1)を代入すれば、

 \displaystyle\Delta y=\frac{dy}{du}\left(\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})\right)+O((\Delta x)^{2})

 \displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\Delta x +\frac{dy}{du}O((\Delta x)^{2})+O((\Delta x)^{2})

となり、両辺を\Delta xでわり極限をとれば

 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}+\left(\frac{dy}{du}+1\right)\frac{O((\Delta x)^{2})}{\Delta x}

 \displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}・・・(4)

となります。この式が合成関数の微分の公式です。

合成関数の微分

関数y=y(u),u=u(x)において

 \displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

が成り立つ。

では問題を解いていきましょう。

以下の関数の微分をせよ。

 f(x)=(2x+1)^{10}

この場合、2x+1を関数uと見立てて合成関数の微分公式を使います。

 \displaystyle\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}(2x+1)\frac{d}{du}u^{10}\\=20u^{9}\\=20(2x+1)^{9}

今回は文字uでおきましたが、慣れてきたら

 \displaystyle\frac{d}{dx}(2x+1)^{10}=(2x+1)^{\prime}10(2x+1)^{9}\\=20(2x+1)^{9}

といきなり微分すればOKです。

商の微分

では、合成関数の微分公式を使って以下の微分公式を導いてみましょう。

商の微分

 \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}

まず積の微分公式より

 \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{g(x)}\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}

が得られます。次に合成関数の微分より

 \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=g^{\prime}\frac{d}{du}\frac{1}{u}\\=-\frac{g^{\prime}}{u^{2}}\\=-\frac{g^{\prime}}{g^{2}}

となるので

 \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{g(x)}f^{\prime}(x)-f(x)\frac{g^{\prime}}{g^{2}}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^{2}}

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)