微分係数

微分係数

 前回の講義で関数の極限について学びました。今回は関数の変数が少し変化したら関数値がどの程度、変わるのかを計算していきます。この変化の度合いを表す量が微分係数と呼ばれる量になります。ここの講義では、微分係数の定義とその計算方法について解説します。

微分係数とは

 微分係数について説明するために、関数f(x)の変化について考えます。つまり、

「関数f(x)においてxx=aから少し変化したら関数f(x)がどれくらい変化するか?」

について考えます。

微分の解説図

 x=aから少し移動した位置をx=a+\Delta xとします。とても小さい量はよく\Deltaを頭文字に付けて意識します(数学で微小変化は基本的に「d」を使います。英語の「difference」が由来らしい)。すると、関数f(x)の変化は

 f(a+\Delta x)-f(a)

と記述できます。このまま、\Delta xを0にするといつでもこの変化量が0となります。そこで、\Delta xで割り、単位あたりの変化量を計算します。すると

 \displaystyle\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

となります。ここで極限をとって

 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

とします。これが関数の微分係数です。以下に微分係数の定義をまとめます。

微分係数

関数f(x)において

 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

aにおける微分係数と呼ぶ。そして、

 \displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

もしくは

 \displaystyle\frac{df}{dx}(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

と表記する。

もし、関数f(x)を株価としてxを時間とした場合、f^{\prime}(x)の高い株を買えばいいことになります。ただ、関数f(x)自体が不明なのでどうしようもありませんが…。

微分係数を求める

では、簡単な関数について微分係数を求めてみましょう。

以下の関数においてx=aでの微分係数を求めよ。

 f(x)=x^{2}

この関数がaからわずかな量\Delta x移動すると関数の変化は

 \displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)=(a+\Delta x)^{2}-a^{2}=2a\Delta x +(\Delta x)^{2}

となります。これを\Delta xで割ると

 \displaystyle\frac{2a\Delta x +(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=2a+\Delta x

となり、極限\Delta x\to 0をとると

 \displaystyle\frac{df}{dx}(a)=\lim_{\Delta x\to 0}2a+\Delta x=2a

が得られます。よって微分係数は2aとなります。

微分係数は「接線の傾き」を表しています。

例えば、先ほどの関数f(x)=x^{2}の場合、x=0で頂点になるので接線の傾きは0になるはずです。

2次関数

実際に微分係数は

 \displaystyle\frac{df}{dx}(0)=2\times 0

と0になっているのがわかります。また、x>0では接線は右上へ伸びるので傾きは正で、x<0なら負になります。

確かに

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=2x

よりそうなることがわかります。

上記のように微分係数を計算することで、接線の傾きを知ることができます。

微分係数とはとても便利な関数ですね。

導関数

これまで微分係数を定義域のある点で考えていました。

そうではなく、微分係数を定義域全体で考えることができます。

これを導関数といい以下のように定義します。

関数f(x)において

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}

を関数f(x)の導関数といい、導関数を求めることを微分するという。

では、いくつか導関数を計算してみましょう。

以下の導関数を計算せよ。

(1)f(x)=x+1

(2)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}、ただし、x\neq 0

(1)

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h+1)-(x+1)}{h}=\lim_{h\to 0}1=1

(2)

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\=\lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{hx(x+h)}\\=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\=-\frac{1}{x^{2}}

ただし、x\neq 0です。

著者:安井 真人(やすい まさと)