関数の増減

関数の増減

微分法は、接線の計算だけでなく、関数をグラフにかく際に便利です。

ここでは、単調増加と単調減少について解説して、関数の増減を微分で調べる方法を紹介します。

単調増加と単調減少

はじめに単調増加と単調減少の意味を説明します。

まず、単調増加の定義です。

単調増加

関数f(x)で、ある区間の任意の値、u,vについて

 u<v\Rightarrow f(u)<f(v)

が成り立つときf(x)はその区間で単調に増加するという。

では続いて単調減少の定義です。

単調減少

関数f(x)で、ある区間の任意の値、u,vについて

 u<v\Rightarrow f(u)>f(v)

が成り立つときf(x)はその区間で単調に増加するという。

単調増加と単調減少は簡単にいうと

  • 右肩あがりならば、単調増加
  • 右肩さがりならば、単調増加

となります。グラフを書けば単調増加かどうかはすぐにわかります。

単調増加の例として

 f(x)=x^{2},0<x<1

があげられます。

a2

実際に区間の任意の値u,vについて

 u<v\Rightarrow f(u)<f(v)

がなりたちます。一方、

 f(x)=x^{2},-1<x<1

の場合だと、

yy

-0.1,0とすると

 f(-0.1)=0.01,f(0)=0

なのでf(-0.1)<f(0)が成り立たないので単調増加ではありません。

 

微分係数と単調増加と単調減少の関係

単調増加・単調減少と微分係数にはある関係があります。それが以下の定理です。

単調さと微分係数

ある区間で

常にf^{\prime}(x)>0ならば、f(x)はその区間で単調に増加する

常にf^{\prime}(x)<0ならば、f(x)はその区間で単調に減少する

常にf^{\prime}(x)=0ならば、f(x)はその区間で一定である

まず、区間から任意にu<vを選びます。そしてf^{\prime}(x)>0なら、ある正数h>0

 \displaystyle\frac{f(u+h)-f(u)}{h}>0\Rightarrow f(u+h)>f(u)

が成り立ちます。これをvまで続けていけば

 f(v)>\cdots>f(u+h)>f(u)

が成り立ちます。よって、f(x)は単調増加となります。

単調減少も同様に証明できます。

一方、f^{\prime}(x)=0の場合も同様にして、

 f(v)=\cdots=f(u+h)=f(u)

とすることで証明できます。

この公式を使うことで、どの区間では関数が右肩上がりであるかがわかります。

この公式により、微分係数の値から関数のおおよその形を理解できるので便利です。

  • 常に増加する関数は単調増加関数
  • 常に減少する関数は単調減少関数
  • 微分係数で単調増加か減少かがわかる

著者:安井 真人(やすい まさと)