微分を使ってグラフをかく

微分を使ってグラフをかく

前回、微分係数が正なら傾きも正、負なら傾きも負ということを証明しました。

このことを使えば、グラフの概形をある程度かくことができます。

この記事では、増減表を書いて、グラフの外形を書く方法を紹介します。

グラフの書き方

関数y=x^{3}+3x^{2}-2の外形を書きながら説明します。

まず、この関数を微分すると

 y^{\prime}=3x^{2}+6x=3x(x+2)

となります。これより

x \cdots -2 \cdots 0 \cdots
y^{\prime} + 0 \cdots 0 -
y 2 -2

と表にまとめることができます。

あとはこの表を使って、グラフを描くだけです。

すると以下のようになります。

graph

x=-2,0などの主要な点はきちんとプロットしておきましょう。

余裕があると、-1とか1など切りが良い場所もプロットするといいでしょう。

極大と極小

さきほどの関数のx=-2のことを極大(きょくだい)といい、x=0のことを極小(きょくしょう)といいます。

もうすこし厳密にいうと以下のような定義になります。

極大と極小

 f(a)>f(a+x)(もしくはf(a)<f(a+x))

がある実数\Delta x|x|<\Delta xとなる領域全体で成り立つとき、x=a極大(もしくは極小)であるという。

少し難しく述べましたが、山の頂点で極大で、谷の底が極小であるというイメージを掴めておけばOKです。

著者:安井 真人(やすい まさと)