不定積分の性質

不定積分の性質

不定積分は微分と同様に線形性という性質があります。

ここでは、この線形性について解説して、線形性を使って問題を解いていきます。

不定積分の線形性

不定積分には以下のような性質があります。

線形性

 \displaystyle\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\\ \int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x) dx

この線形性を使えば、

 \displaystyle\int (2x+1)dx=2\int x +\int dx=x^{2}+x+C

と計算することができます。

関数f(x),g(x)の不定積分の一つをそれぞれF(x),G(x)とします。すると、

 F^{\prime}(x)=f(x)\\ G^{\prime}(x)=g(x)

なので、kを実数とすれば

 (kF(x))^{\prime}=kF^{\prime}(x)=kf(x)\\ (F(x)+G(x))^{\prime}=F^{\prime}(x)+G^{\prime}(x)=f(x)+g(x)

となります(ここで微分の線形性を利用しています)。

以上のことから、kF(x)F(x)+G(x)はそれぞれkf(x)f(x)+g(x)の不定積分となっていることがわかります。

次の不定積分を求めよ。

  1. \displaystyle\int(2t+1)(2t-1)dt
  2. \displaystyle\int \cos x+\sin x dx

(1)

 \displaystyle\int(2t+1)(2t-1)dt\\=\int 4t^{2}-1dt\\=4\int t^{2}dt-\int dt\\=\frac{4}{3}t^{3}-t+C

(2)

 \displaystyle\int \cos x+\sin x dx\\=\int\cos xdx+\int\sin x dx\\=\sin x-\cos x+C

  • 不定積分は線形性が成り立つ

著者:安井 真人(やすい まさと)