定積分の性質

定積分の性質

定積分も不定積分と同様に線形性が成り立ちます。

他にも積分範囲に応じた性質があります。

ここでは、これら定積分の性質について解説します。

 線形性

はじめの性質は線形性と呼ばれる性質です。

線形性

 \displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\\\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx

線形性を使えば、

 \displaystyle\int_{0}^{1}2x+1dx\\=2\int_{0}^{1}xdx+\int_{0}^{1}dx\\=2\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[x\right]_{0}^{1}\\=1+1=2

と計算できます。でも、いきなり積分したほうが速いんですけどね。

f(x)の不定積分の一つをF(x)とすると、kF(x)kf(x)の不定積分なので(不定積分の線形性を参照)

 \displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx\\=\left[kF(x)\right]_{a}^{b}\\=kF(b)-kF(a)\\=k(F(b)-F(a))\\=k\int_{a}^{b}f(x)dx

となります。

また、g(x)の不定積分の一つをG(x)とすると、F(x)+G(x)f(x)+g(x)の不定積分なので

 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)+g(x)dx\\=\left[F(x)+G(x)\right]_{a}^{b}\\=(F(b)+G(b))-(F(a)+G(a))\\=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))\\=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx

が得られます。以上で証明終了です。

 積分範囲

次の性質は、積分範囲に関する性質です。

積分範囲

 \displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\\\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\\\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx

積分範囲の性質は、定積分は面積であることを理解しておけば十分です。

常にどこの面積を計算しているかを意識していれば、積分範囲の性質はマスターしたも同然です。

例えば、積分範囲の性質を使えば、

 \displaystyle\int_{-1}^{2}xdx-\int_{0}^{2}xdx\\=\int_{-1}^{2}xdx+\int_{2}^{0}xdx\\=\int_{-1}^{0}xdx\\=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}\\=-\frac{1}{2}

と計算できます。この計算は、頭の中でどの面積を計算すればいいかを考えていればすぐに思いつくと思います。

f(x)の不定積分の一つをF(x)とすれば

 \displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{a}=F(a)-F(a)=0,\\\int_{b}^{a}f(x)dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int_{a}^{b}f(x)dx,\\\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=(F(b)-F(c))+(F(c)-F(a))=\int_{b}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{a}f(x)dx

が得られます。

次の定積分を求めよ。

  1. \displaystyle\int_{0}^{1}3x^{2}+2xdx
  2. \displaystyle\int_{-3}^{3}x^{2}dx-\int_{-3}^{1}x^{2}dx

(1)

線形性を使えばいいのですが、面倒なので一気に積分します。

 \displaystyle\int_{0}^{1}3x^{2}+2xdx=\left[x^{3}+x^{2}\right]_{0}^{1}=2

(2)

 \displaystyle\int_{-3}^{3}x^{2}dx-\int_{-3}^{1}x^{2}dx\\=\int_{-3}^{3}x^{2}dx+\int_{1}^{-3}x^{2}dx\\=\int_{1}^{3}x^{2}dx\\=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}=\frac{1}{3}(27-1)=\frac{26}{3}

解が分数ですが、そんなときもあります。

心配性の方は計算を見直しましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)