べき関数の微分

べき関数の微分

 xをn乗した関数をべき関数といいます。導関数の計算練習として、ここでは、べき関数の微分についての公式を導きます。べき関数は今後良く使用するのでしっかり計算方法を身につけておきましょう。

ベき関数を微分の定義に従って計算する

では、関数

 f(x)=x^{n}

を微分の定義に従って計算していきます。ただし、nは整数とします。

nが0以上の場合

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+O(\Delta x^{2})-x^{n}}{\Delta x}←展開して\Delta x^{2}以降の項をO(\Delta x)にまとめた

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}nx^{n-1}+\frac{O(\Delta x^{2})}{\Delta x}

 =nx^{n-1}   ←ここで\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{O(\Delta x^{2})}{\Delta x}=0を使った

 となります。

O(\Delta x)についてですが、例えば

 f(x)=x^{3}

の場合は

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\frac{(x+\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}=\frac{x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}

なので、

 O(\Delta x)=3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}

となります。とにかく(\Delta x)^{2}以上を含んでいる項をまとめてあります。(x+\Delta x)^{n}は厳密に展開できますが、ここでは計算が面倒なのでO(\Delta x)でまとめたことにして省略しています。(展開方法についてはこの記事を参照)

nが0未満の場合

この場合は、

 m=-n>0

とおきます。すると

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\displaystyle \frac{1}{(x+\Delta x)^{m}}-\frac{1}{x^{m}}}{\Delta x}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^{m}-(x+\Delta x)^{m}}{\Delta xx^{m}(x+\Delta x)^{m}}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-nx^{m-1}\Delta x+O(\Delta x)}{\Delta xx^{m}(x+\Delta x)^{m}}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\displaystyle -nx^{m-1}+\frac{O(\Delta x)}{\Delta x}}{x^{m}(x+\Delta x)^{m}}

 \displaystyle =-mx^{-m-1}

 \displaystyle =nx^{n-1}

となります。

まとめると

以上のことから結局いかの定理が成り立ちます。

冪関数の微分

冪関数f(x)=x^{n}の微分は

 \displaystyle\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}

となる。ただし、nは整数とする。

今回の証明ではnは整数ですが、実はnは実数でも成り立ちます。例えば以下の問題を解いてみてください。

以下の関数の導関数を計算せよ。

(1)f(x)=x^{3.4}

(2)f(x)=x^{0.5}

公式どおり計算します。

(1)

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=3.4x^{3.4-1}=3.4x^{2.4}

(2)

 \displaystyle\frac{df}{dx}(x)=0.5x^{0.5-1}=0.5x^{-0.5}

  • x^{n}の微分はnx^{n-1}
  • ここでは証明していないがnは実数でも成立

著者:安井 真人(やすい まさと)