三角関数の微分

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 三角関数sin,cos,tanも微分することができます。ここでは、三角関数の微分がどのようになるかを計算します。そして、三角関数の微分公式を導きます。

三角関数の微分

 では、f(x)=\sin xの微分を考えます。

三角関数を微分する前に

f(x)=\sin xの微分を行うために、以下の公式を証明します。

三角関数の極限

 \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

【正から近づける】

まず、下のような図形を考えます。

limsinx/x=1の証明

この図より、面積について

 \triangle OAB <扇形OAB<\triangle OCA

が成り立つことがわかります。よって

 \displaystyle\frac{1}{2}\times 1\times \sin \theta <\pi \times 1\times 1\times \frac{\theta}{2\pi}<\frac{1}{2}\times 1\times \tan \theta\\\Leftrightarrow \sin \theta <\theta <\tan \theta,

となります。\sin \theta>0,\theta >0なので、両辺を\sin \thetaを割ると

 \displaystyle 1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos \theta}\\\Leftrightarrow 1>\frac{\sin\theta}{\theta}<\cos\theta

となります。これに極限\theta\to 0をとれば

 \displaystyle 1>\lim_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1

となることがわかります。

【負から近づける】

さきほどは\theta>0から近づけましたが、次に\theta<0から近づけてみます。そこで

 x=-\theta>0

とおくと

 \displaystyle\lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{-\sin \theta}{-\theta}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1

となり、負から近づけても成り立つことがわかります。以上で証明は終了です。

sin(サイン)を微分する

 では次に三角関数の微分をします。

 \displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin x \cos \Delta x +\cos x \sin \Delta x -\sin x}{\Delta x}加法定理\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,

 \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\sin x+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}

ここで、

 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(1+\cos\Delta x)(\cos\Delta x-1)}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos^{2}\Delta x-1}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}展開の公式(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} -\frac{\sin^{2}\Delta x}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}公式\sin^{2}x+\cos^{2}x=1

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} -\left(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)^{2}\frac{\Delta x}{1+\cos\Delta x}

 \displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0}-1^{2}\frac{0}{1+1}\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1

 =0

より

 \displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\sin x+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x

となります。

cos(コサイン)を微分する

次にf(x)=\cos xの微分を考えます。

 \displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=\frac{d}{dx}\sin\left( x+\frac{1}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{1}{2}\right)\times \frac{d}{dx}\left( x+\frac{1}{2}\right)=-\sin x

ここで、合成関数の微分の公式

 \displaystyle\cos x=\sin \left( x+\frac{1}{2}\right),\cos \left( x+\frac{1}{2}\right) =-\sin x

を使いました。

tan(タンジェント)を微分する

最後にf(x)=\tan xに関しては

 \displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^{2} x -\sin x (-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos^{2} x}

と計算できます。ここで、商の微分公式\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f}{g}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^{2}}を使いました。

まとめ

以上まとめると以下の公式となります。

三角関数の微分

  1. \displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x
  2. \displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
  3. \displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}

【三角関数の公式の覚え方】

三角関数は下のような図を使うと覚えやすいです。

三角関数の微分と積分

微分の場合は、時計回りで変換して、積分の場合は反時計周りで変換します。例えば、

 -\cos x

を微分する場合は時計回りに回って

 \displaystyle\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x

となります。\tan xの微分に関しては、証明であった方法で計算できるようにしておけばいいでしょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)