対数関数の微分

対数関数の微分

では、引き続き主要な関数を微分していきましょう。

ここでは、対数関数を微分して導関数を導きます。

そして対数や指数関数で重要な数であるネイピア数について紹介します。

 対数関数を微分する

では、対数関数f(x)=\log_{a}xの微分を考えます。

 \displaystyle\frac{d}{dx}\log_{a}x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_{a}x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_{a}\left( 1+\frac{\Delta x}{x}\right)

ここで、\displaystyle h=\frac{\Delta x}{x}とおくとh\to 0より

 \displaystyle\frac{d}{dx}\log_{a}x=\lim_{h\to 0}\frac{1}{xh}\log_{a}\left( 1+h\right)=\frac{1}{x}\lim_{h\to 0}\log_{a}\left( 1+h\right)^{\frac{1}{h}}

となります。極限\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}eでおけば、

対数の微分1

 \displaystyle\frac{d}{dx}\log_{a}x=\frac{1}{x}\log_{a}e

が成り立ちます。

ここで出てきたeをネイピア数と呼びます。

ネイピア数

極限\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}

ネイピア数といい、eとおく。

さて、ここで底aeに等しいときは

対数の微分2

 \displaystyle\frac{d}{dx}\log_{e}x=\frac{1}{x}\log_{e}e=\frac{1}{x}

が成り立ちます。

底をeとして用いる場合が多いので\log_{e}x\ln x\log xと簡略して書くことがあります。

 以下の関数を微分せよ。

 y=\ln (x+1)

合成関数の微分公式を使って計算すると

 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}(x+1)=\frac{1}{x+1}

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)