指数関数の微分

指数関数の微分

ここでは指数関数の微分について解説します。

指数関数の微分には対数関数の微分を使うので復習しておいてください。

 指数関数の微分

指数関数y=f(x)=a^{x}の微分について考えます。

まず、自然対数をとると

 \ln y=x\ln a

となります。次に両辺を xで微分します。すると、合成関数の微分公式より

 \displaystyle\frac{y^{\prime}}{y}=\ln a\\\Leftrightarrow y^{\prime}=y\ln a

となるので

指数関数の微分

 \displaystyle\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a

が導かれます。

底として eをとれば

指数関数の微分

 \displaystyle\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}

となります。

e^{x}は微分しても同じ関数になる微分と相性がいい関数です。

以下の関数を微分せよ。

 y=2e^{2x}

合成関数の微分公式を使えば

 \displaystyle\frac{dy}{dx}=4e^{2x}

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)