二変数関数の微分

前回まで一変数関数の微分を考えてきました。

今回は二変数関数f(x,y)の微分を考えます。

 

微分は変数が少し変わったら、関数値がどれくらい変わるかを知るための道具でした。

一変数関数ならテイラー展開より

\displaystyle f(x+\Delta x)\approx f(x)+\frac{df }{dx}(x)\Delta x

\Delta xが十分小さければ一次関数で近似できました。

 

これと同じことを二変数関数f(x,y)でも考えます。

ただ、変数が(x,y)と二つあるので少し移動するのにも様々な方向があります。

はじめは簡単のためx方向に\Delta x移動する状況を考えます。

これは、f(x,y)xだけの関数と見た際に微分したのと同じなので、

\displaystyle f(x+\Delta x,y)\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Delta x

と一次関数で近似できます。ここで、習わしで二変数関数の場合は微分を

\displaystyle\frac{d}{dx}でなく\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}

と書きます。これを偏微分と呼びます。

例えば、関数f(x,y)=x^{2}y^{2}ならxで偏微分すると

\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2xy^{2}

となります。ただ、xに着目して微分しただけです。

 

さて、次にy方向へ少し移動してみましょう。すると

\displaystyle f(x,y+\Delta )\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Delta y

と一次関数で近似できますね。

 

では、次にx方向へ\Delta x移動して、y方向へ\Delta y移動したらどうなるでしょうか?

まず、x方向への移動は先ほどやったように

\displaystyle f(x+\Delta x,y)\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Delta x

となります。ここからさらにy方向へ\Delta y移動すると

\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y+\Delta y)+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+\Delta y)\Delta x,

\displaystyle\approx \left( f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Delta y\right)+\left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)\Delta y \right)\Delta x ,

\displaystyle= f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Delta y+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Delta x+\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)\Delta y \Delta x,

\displaystyle\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Delta y,

と一次関数で近似できます。

この式を使うことで、二次関数を一次関数で近似できます。

 

例えば、f(x,y)=x^{2}y^{2}なら

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^{2},\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}y

となるので

f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+2xy^{2}\Delta x+2x^{2}y\Delta y

と近似することができます。

この式は\Delta x,\Delta yが十分小さいときに成り立ちます。

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