不定積分

不定積分

微分を学んできましたが、今回から積分を学習します。

積分と微分はある関係があります。

それは、微分とは逆の操作が積分という関係です。

ここでは、積分の基礎である不定積分を解説します。

不定積分とは

微分したら

 \displaystyle\frac{df}{dx}=2x+1

でした。

「では関数f(x)は何でしょうか?」

というのが不定積分です。

つまり、

不定積分

ある関数f(x)に対して、

 \displaystyle\frac{d}{dx}F(x)=f(x)

となる関数F(x)の集合を不定積分と呼び

 \displaystyle F(x)=\int f(x)dx

とかく

と定義します。

 積分定数

先ほどの関数は、微分したら2x+1なので、少し考えると

 F(x)=x^{2}+x

が良さそうです。しかし、よく考えると

 F(x)=x^{2}+x+1

のように定数を足しても微分すれば0となるので

 F(x)=x^{2}+x+C

が答えとなります。ここで定数C積分定数と呼ばれる定数です。

 よって、2x+1の不定積分は

 \displaystyle\int (2x+1)dx=x^{2}+x+C

となります。

 以下の関数の不定積分を求めよ。

  1. \displaystyle f(x)=3
  2. \displaystyle f(x)=\cos x
  3. \displaystyle f(x)= e^{x}
  4. \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}

不定積分の計算結果は

  1. \displaystyle\int 3dx=3x+C
  2. \displaystyle\int \cos x dx=\sin x +C
  3. \displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+C
  4. \displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C

となります。

実際に、積分結果を微分すると元に戻ります。

  • 不定積分は微分の逆

著者:安井 真人(やすい まさと)