定積分

地球儀

 積分を使うと関数とx軸に囲まれた面積を簡単に計算することができます。ここでは、面積を計算する定積分という考え方を解説します。そして、実際に定積分により面積を計算します。また、なぜ定積分で面積が求まるかの解説も行います。

定積分とは

 微分の逆の操作が積分でした。積分には面積を計算する際に便利な公式があります。それは以下の様な公式です。

定積分

以下の図のように

定積分

関数f(x)x軸とx=a,x=bに囲まれた面積Sは、f(x)の不定積分の一つをF(x)とすると

 S=F(b)-F(a)

となり、

 \displaystyle S=F(b)-F(a)=\left[ F(x)\right]_{a}^{b}= \int_{a}^{b}f(x)dx

とかく。これを定積分と呼ぶ。

では、定積分を使って面積を計算してみましょう。

f(x)=x^{2},x=1x軸に囲まれた面積を求めよ。

定積分により

 \displaystyle S=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}1^{3}-\frac{1}{3}0^{3}=\frac{1}{3}

となります。

【 なぜ、定積分で面積が求まるか】

 とりあえず定理を使えればいいのですが、気になる人も多いと思うので解説します。まず、微分がどのような操作なのかをおさえておきましょう。そこで、関数y=F(x)=x(x-1)(x+1)の微分を考えます。微分の定義は

 \displaystyle\frac{dF}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}

でした。この値をf(x)とおきます。またここでは、\Delta x\to 0にしていますが、\Delta x=0.2として考察します。そうすると

 \displaystyle\frac{dF}{dx}=f(x)\approx\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}

 \Leftrightarrow f(x)\Delta x\approx F(x+\Delta x)-F(x)・・・①

となります。\displaystyle f(x)\Delta xは関数F(x)の前後差であり、プロットすると以下の図の赤と青になります。

bibun

\displaystyle f(x)\Delta xを別のグラフにプロットし直したのが

seki

です。さて、グラフをよく見るとy=f(x)=3x^{2}-1とx軸との間の面積を求められることがわかります。例えば、\alpha=1から\beta=2の間の面積Sを求めたかったら、

 \displaystyle S=f(1)\Delta x+f(1.2)\Delta x+f(1.4)\Delta x+\cdots+f(2)\Delta x

となります。また、式①より

 \displaystyle S=f(0)\Delta x+f(0.2)\Delta x+f(0.4)\Delta x+\cdots+f(2)\Delta x\\=(F(1.2)-F(1))+(F(1.4)-F(1.2))+(F(1.6)-F(1.4))+\cdots+(F(2)-F(1.8))\\=-F(1)+F(2)\\=F(\beta)-F(\alpha)

となります。以上のことから定積分

 \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=F(\beta)-F(\alpha)

がx軸との間の面積となることがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)