接線と法線

接線と法線

微分をすると、接線の傾きを簡単に計算できました。

そこで、ここでは実際に接線について計算する方法を紹介します。

また、法線の求め方も紹介します。

接線の方程式

関数y=f(x)があるとします。

そして、x=aでの接線の方程式を計算してみましょう。

まず、接線は

(a,f(a))

を通ります。また、この点における傾きは

 f^{\prime}(a)

になるので

 y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\\\Leftrightarrow y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

が接線の方程式になります。

よって、以下の公式が得られます。

接線の方程式

関数y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の方程式は

 y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

となる。

では、以下の問題を解いてみましょう。

以下の関数のx=1での接線を計算せよ。

 y=x^{2}-2x-2

まず、関数を微分します。すると

 \displaystyle \frac{dy}{dx}=2x-2

となります。よって、x=1での傾きは

 \displaystyle \frac{dy}{dx}(1)=0

となります。また、

(1,-3)

を通るので

 y-(-3)=0(x-1)\\\Leftrightarrow y=-3

が接線の方程式となります。

法線の方程式

では続いて法線の方程式を求めていきます。

では、y=f(x)(a,f(a))での法線の方程式を計算します。

法線と接線の傾きの積は-1になるので

 \displaystyle -\frac{1}{f^{\prime}(a)}

が法線の傾きになります。ただし、f^{\prime}(a)\neq 0の場合です。

よって

 \displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a)\\\Leftrightarrow y=-\frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a)+f(a)

が接線の方程式になります。

もし、f^{\prime}(a)=0の場合は、

 x=a

が法線の方程式となります。

以上のことより、以下の公式が得られます。

法線の方程式

関数y=f(x)の点(a,f(a))での法線の方程式は

f^{\prime}(a)x\neq 0の場合、\displaystyle y=-\frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a)+f(a)

f^{\prime}(a)x=0の場合、x=a

となる。

では以下の問題を解いてみましょう。

y=x^{2}x=1での法線の方程式を求めよ。

まず、微分すると

 \displaystyle \frac{dy}{dx}=2x

となります。よって、法線の傾きは

 \displaystyle -\frac{1}{f^{\prime}(1)}=-\frac{1}{2}

なので

 \displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-1)=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

が法線の方程式となります。

  • 関数y=f(x)の(a,f(a))での接線の方程式はy=f'(a)(x-a)+f(a)
  • 法線の方程式はy=-(1/f'(a))(x-a)+f(a)

著者:安井 真人(やすい まさと)