置換積分

積分を計算する際に、置換積分という計算方法が存在します。

この計算方法を使用することで、簡単に積分ができる場合があります。

ここでは、不定積分と定積分の置換積分について解説します。

不定積分の置換積分

積分内のある一部を関数で置換して計算する方法が置換積分です。

公式は以下の通りになります。

不定積分の置換積分

 \displaystyle\int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt

ただし、x=g(t)である。

\displaystyle F(x)=\int f(x)dxとおき、x=g(t)とすると、合成関数の微分公式より

 \displaystyle\frac{dF}{dt}=\frac{dF}{dx}\frac{dx}{dt}=f(g(t))g^{\prime}(t)

となります。よって、

 \displaystyle F(x(t))=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt

となり

 \displaystyle\int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt

が得られます。

では、置換積分をつかって計算をしてみましょう。

次の不定積分を計算せよ。

 \displaystyle\int\frac{dx}{x+1}

t=x+1とおきます。すると

 \displaystyle\frac{dt}{dx}=1

なので、

 \displaystyle\int\frac{dx}{x+1}\\=\int\frac{1}{t}1dt\\=\int t^{-1}dt\\=\log |t|+C\\=\log |x+1|+C

が得られます。

定積分の置換積分

定積分でも置換積分を使うことができます。

定積分の置換積分

 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt

ただし、x=g(t),a=g(\alpha),b=g(\beta)である。

 f(x)の不定積分の一つをF(x)とします。すると合成関数の微分公式

 \displaystyle\frac{d}{dt}F(g(t))=\frac{dF}{dx}g^{\prime}(t)=f(g(t))g^{\prime}(t)

を使い

 \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt=\left[F(g(t))\right]_{\alpha}^{\beta}\\=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\=F(b)-F(a)\\=\int_{a}^{b}f(x)dx

となり定理が証明されます。

 さっそく公式を使ってみましょう。

以下の定積分を求めよ。

 \displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x}dx

まず、

 t=1-x

とおくと、

 \displaystyle\frac{dt}{dx}=-1\\x=0\rightarrow t=1\\x=1\rightarrow t=0

なので、

 \displaystyle\int_{1}^{0}(1-t)\sqrt{t}(-1)dt=\int_{0}^{1}(1-t)\sqrt{t}dt\\=\left[\frac{2}{3}t^{3/2}-\frac{2}{5}t^{5/2}\right]_{0}^{1}\\=\frac{4}{15}

が得られます。

置換積分について解説しましたが、不定積分が見つかれば置換積分を使わずいきなり積分してもかまいません。

積分は不定積分を見つけたら勝ちです。

  • 置換積分をつかうと積分内の関数をまとめることができる
  • 不定積分が見るかるなら置換積分をする必要なし

著者:安井 真人(やすい まさと)