部分積分

部分積分

積分の計算法の一つに部分積分があります。

部分積分では一部を微分して一部を積分することができます。

ここでは、部分積分の解説と使い方を紹介します。

不定積分の部分積分

部分積分の公式は以下の通りになります。

不定積分の部分積分

 \displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx

証明には積の微分公式

 (f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\\\Leftrightarrow f(x)g^{\prime}(x)=(f(x)g(x))^{\prime}-f^{\prime}(x)g(x)

を使います。これを積分すれば

 \displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx

が得られます。

イメージとしては

seki

のような感じで、一方の関数は「積分→そのまま」、もう一方は「そのまま→微分」とします。

では問題を解いてみましょう。

以下の不定積分を計算せよ。

 \displaystyle\int xe^{-x}dx

e^{-x}の積分は簡単なので、部分積分を使うと

 \displaystyle\int xe^{-x}dx=x(-e^{-x})-\int 1\cdot (-e^{-x})dx\\=-xe^{-x}-e^{-x}+C

が得られます。

定積分の部分積分

不定積分と同様に定積分でも部分積分は使えます。

定積分の部分積分

 \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)g^{\prime}(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f^{\prime}(x)g(x)dx

証明では積の微分公式

 (f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)

を積分して

 \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)dx\\\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)dx

が得られます。

では、問題を解いていきます。

以下の積分を計算せよ。

 \displaystyle\int_{1}^{2}x\ln xdx

部分積分の公式を適用すると

 \displaystyle\int_{1}^{2}x\ln xdx=\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\frac{1}{2}x^{2}\frac{1}{x}dx\\=2\ln 2-\int_{1}^{2}\frac{1}{2}xdx\\=2\ln 2-\left[\frac{1}{4}x^{2}\right]_{1}^{2}\\=2\ln 2-\frac{3}{4}

となります。

  • 部分積分は「積分、そのまま」「そのまま、微分」

著者:安井 真人(やすい まさと)