平方根の分母の有理化

平方根の分母の有理化

2の平方根のように分母に根号があると小数を求める際に1.41421356…で割らないと計算できないので面倒です。

そこで、分母にある根号を分子に移すことを考えます。

この操作のことを分母の有理化といいます。

ここでは、分母の有理化の方法を解説します。

分母の有理化とは

まず、分母の有理化の定義から解説します。

分母の有理化

分母にある根号を分子に移すことを平方根の分母の有理化という。

分母の無理数を有理数へ変換するから「分母の有理化」といいます。

無理数は平方根以外にもありますが、平方根をターゲットにしていると考えてください。

 

有理化すれば1.4142…のような数字を掛けるだけで計算できます。

かけるのも面倒ですが、割るより楽ですよね。

ですから、有理化は値を整理するのによく使用されます。

平方根の分母の有理化の方法

では、分母の有理化の方法を解説します。

有理化の方法は分母の根号が消えるように分子と分母にある数をかければいいです。

先ほどの例では

 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

となります。これなら、\sqrt{2}を2で割るだけなので簡単に求められそうですね。

 

では次の有理化はどうでしょうか?

以下の式の分母を有理化をせよ。

  \displaystyle\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}

一見難しそうですが、

 (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

に着目すれば

 \displaystyle\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\= \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\ =\frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}\\=3(\sqrt{3}-\sqrt{2})

と計算できます。

  • 分母の無理数を有理数にすることを分母の有理化という
  • 分母の有理化は(a+b)(a-b)=a2-b2を利用する

著者:安井 真人(やすい まさと)