指数

指数

前回は平方根の話をしましたが、今度は指数の話をします。

掛け算を何回もするのを省略したのが指数なので、平方根よりもわかりやすいかと思います。

ただ、指数には法則が多くあるので、理解して使えるようになっておいてください。

 

さて、指数とは簡単にいうと

 2\times 2\times 2\times 2

と書くのが面倒なので、

 2^{4}

と書くことにすることです。

指数

an個かけたものをan乗といって、a^{n}と書き指数(しすう)とよびぶ。ここで、a,nは実数である。

指数法則

指数は次の指数法則が成り立つ。

(1) a^{m}a^{n}=a^{m+n}

(2)(a^{m})^{n}=a^{mn}

(3)(ab)^{n}=a^{n}b^{n}

(1)については

 a^{2}a^{4}=(aa)(aaaa)=aaaaaa=a^{6}

となるので成り立ちそうです。

(2)についても

 (a^{2})^{3}=(aa)(aa)(aa)=aaaaaa=a^{6}

となり納得できると思います。

(3)はどうかというと

 (ab)^{3}=(ab)(ab)(ab)=(aaa)(bbb)=a^{3}b^{3}

となります。

上記のように指数法則を忘れても簡単な例を作ることで思い出すことができます。

指数の計算機

以下に指数を計算できるプログラムをのせてあるので遊んでみてください。

負の場合の指数

以下、指数の値が負の場合における定義です。

指数が負の場合の計算

指数が0の場合は

 [latex]a^{0}=1[/latex]

と定義する。また、

 [latex]\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}[/latex]、

 [latex]a^{1/2}=\sqrt{a}[/latex]

と定義する。

このようにすると

 [latex]a\times a^{-1}=a^{1-1}=a^{0}=1[/latex]

となりますし、

 [latex]\displaystyle (a^{1/2})^{2}=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a^{1}=a[/latex]

となりつじつまが合いますね。

最後にいくつか計算をして終わりましょう。

以下の計算をせよ。

(1) [latex]2^{3}[/latex]

(2) [latex]10^{-2}[/latex]

(3) [latex](-3)^{3}[/latex]

(1)[latex]2^{3}=2\times 2\times 2=8[/latex]

(2)[latex]\displaystyle 10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{100}[/latex]

(3)[latex](-3)^{3}=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27[/latex]

  • 指数とは掛け算を複数やるのを省略したものである
  • 指数の計算には指数法則を用いる
  • 指数が負の場合い、逆数となる

著者:安井 真人(やすい まさと)