対数の計算

taisuu

前回、対数について解説しました。

ここでは対数の計算方法について解説していきます。

 

一応、計算の理屈を述べていきますが、計算して慣れるのが手っ取り早いので理屈を呼んだらいろいろな問題集で計算していってください。

対数の定義の復習

対数を

対数

 a^{x}=M \Leftrightarrow x=\log_{a}M

として定義しました。ただし、a>0, a\neq 1,M>0です。

対数の計算方法

今回は以下に述べる2つの対数の計算方法について紹介します。

  • \log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N
  • \log_{a}M^{k}=k\log_{a}M

ここで、a>0,a\neq 1,M>0,N>0kは実数です。

以下、これらの公式を証明していきます。

\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}Nについての証明】

 \log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}Nの具体例をいうと

 \log_{5}2\times 3=\log_{5}2+\log_{5}3

という計算です。この式が成り立つのかを確認していきましょう。

対数の定義(a^{x}=M \Leftrightarrow x=\log_{a}M)から

 5^{\log_{5}6}=6 \\ 5^{\log_{5}2}=2 \\ 5^{\log_{5}3}=3

となります。6=2\times 3なので

 5^{\log_{5}6}=5^{\log_{5}2}\times 5^{\log_{5}3}

が成り立ちますね。さらに指数法則a^{n}a^{m}=a^{n+m}より

 5^{\log_{5}6}=5^{\log_{5}2+\log_{5}3}

となり、たしかに

 \log_{5}6=\log_{5}2+\log_{5}3

となることがわかります。

 

\log_{a}M^{k}=k\log_{a}Mについての証明】

まず、例を挙げると

 \log_{2}81=\log_{2}3^{4}=4\log_{2}3

です。ではさっそく証明していきます。

対数の定義より

 2^{\log_{2}81}=81 \\ 2^{\log_{2}3}=3

となります。また、81=3^{4}より

 2^{\log_{2}81}=\left( 2^{\log_{2}3}\right) ^{4}

が成り立ちます。さらに、指数法則\left( a^{n} \right) ^{m}=a^{nm}より

 2^{\log_{2}81}=2^{4\log_{2}3}

となり、

 \log_{2}81=4\log_{2}3

が得られます。

 

はじめて対数を習う方はとりあえず

 \log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N

だけは身につけておきましょう。

ただ掛け算を和の形に変形できるという公式です。

この式さえ知っていれば、\log_{a}M^{k}=k\log_{a}Mを知らなくても

 \log_{2}81\\=\log_{2}3^{4}\\=\log_{2}3\times 3^{3}\\=\log_{2}3+\log_{2}3^{3}\\=\log_{2}3+\log_{2}3\times 3^{2}\\=\log_{2}3+\log_{2}3+\log_{2}3^{2}\\=2\log_{2}3+\log_{2}3\times3 \\=2\log_{2}3+\log_{2}3+\log_{2}3\\=4\log_{2}3

と計算することができます。

  • 対数の公式1:\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N
  • 対数の公式2:\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M

著者:安井 真人(やすい まさと)