平方根の計算

平方根の計算

ここでは、根号を含む式の計算について解説します。具体的には

  1. 基本的な問題
  2. 根号の外し方に注意がいる問題
  3. 二重根号の問題

を解いていきます。

平方根に関する基本的な問題

\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}+1},y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}のとき、(x+y)(x^{2}+y^{2})を求めよ。

まず、x+y,xyを計算します。すると

 \displaystyle x+y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}\\=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}\\=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-1\\=2\sqrt{2}-2,

 \displaystyle xy=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\frac{1}{\sqrt{2}-1}\\=\frac{1}{2-1}=1

となります。よって、

\displaystyle (x+y)(x^{2}+y^{2})=(x+y)((x+y)^{2}-2xy)\\=(2\sqrt{2}-2)((2\sqrt{2}-2)^{2}-2)\\=(2\sqrt{2}-2)((8-8\sqrt{2}+4)-2)\\=(2\sqrt{2}-2)(10-8\sqrt{2})\\=36\sqrt{2}-52

となります。

 

ルートの外し方に注意がいる問題

二乗に根号が付いているとき、単に根号を外してはいけません。

外した際に正になるように確認しましょう。

以下の根号を外してください。

 \sqrt{(a+1)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}}

根号を外すために場合分けします。

(1)a>1の場合

 a+1>0なので、\sqrt{(a+1)^{2}}=a+1

 a-1>0なので、\sqrt{(a-1)^{2}}=a-1

となります。よって、

 \sqrt{(a+1)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}}=(a+1)+(a-1)=2a

となります。

(2)1\geq a\geq -1の場合

 a+1\geq 0なので、\sqrt{(a+1)^{2}}=a+1

 a-1\leq なので、\sqrt{(a-1)^{2}}=-a+1

となります。よって、

 \sqrt{(a+1)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}}=(a+1)+(-a+1)=2

となります。

(3)-1>aの場合

 a+1<0なので、\sqrt{(a+1)^{2}}=-a-1

 a-1<0なので、\sqrt{(a-1)^{2}}=-a+1

となり、

 \sqrt{(a+1)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}}=-a-1-a+1=-2a

が得られます。

 

以上(1)-(3)より

(1)a>1の場合、2a

(2)1\leq a\leq -1の場合、2

(3)-1>aの場合、-2a

が答えです。

 

2重根号の問題

根号の中に根号があるような値から一つ根号を外すような問題があります。

このような問題では、平方をつくって根号を外していきます。

次の式の2重根号をはずしてください。

 \sqrt{2+\sqrt{3}}

二重根号では

 (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab

を利用することで根号を外します。

 \displaystyle\sqrt{2+\sqrt{3}}\\=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}\\=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2}}\\=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\\=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}

  • 根号を外すときは正負について注意がいる
  • 二重根号を外すときは(a+b)2=a2+b2+2abをうまく利用する

著者:安井 真人(やすい まさと)