平方根

平方根

実数のところで平方根は実数であることを説明しました。

ここでは平方根について紹介します。

平方根は慣れないうちはしっくりこないと思います。というのも2の平方根は1.4142…と小数で書ききれないからです。

でも使っていくうちに慣れると思うので、大丈夫でしょう!

平方根とは

では平方根の定義から解説します。

平方根

2乗するとaとなる数をa平方根という。

実数a> 0の平方根は正の平方根\sqrt{a}と負の平方根-\sqrt{a}の二つがある。

そして、記号√を根号と呼び、\sqrt{a}を「るーとえー」と読む。

いくつか平方根の例を以下に挙げます。

2の平方根:\pm \sqrt{2}=\pm 1.41421356\ldots(一夜一夜に一見頃、ひとよひとよにひとみごろ)

3の平方根:\pm \sqrt{3}=\pm 1.7320508\ldots(人並みにおごれや、ひとなみにおごれや)

4の平方根:\pm \sqrt{4}=\pm 2,

5の平方根:\pm \sqrt{5}=\pm 2.2360879\ldots(富士山麓オーム鳴く、ふじさんろくオームなく)

右辺の値を二乗してみてください。

左辺のルートの中の数字と近い値となるはずです。

 

上記の平方根の定理から以下のことが成り立ちます。

平方根の性質

1.a\geq 0のとき、(\sqrt{a})^{2}=a,(-\sqrt{a})^{2}=a,\sqrt{a}\geq 0

2.\sqrt{a^{2}}=|a|

【1について】

\sqrt{a}は二乗するとaになる数なので(\sqrt{a})^{2}=aが成り立ちます。

また、

 (-\sqrt{a})^{2}=(-1)^{2}(\sqrt{a})^{2}=1a=a

となります。さらに、\sqrt{a}は正の平方根と定義しているので、\sqrt{a}\geq 0となります。

【2について】

a\geq 0の場合、\sqrt{a^{2}}は正の平方根なのでaとなります。

一方、が成り立ちます。

平方根を小数でかくには

気づかれた方もいると思いますが、平方根を小数で表すことは面倒です。

\sqrt{4}=2のようなものは簡単ですが、\sqrt{5}などになると小数で書き表すことができません。

もし、\sqrt{5}のような小数の値を知りたい場合は二乗をしまくるしかありません。

 

例えば、

 1\times 1=1,\\2\times 2=4, \\3\times 3=9

で2と3で5を超えるので、\sqrt{5}=2.???だと分かり、さらに

 2.0\times 2.0=4,\\2.1\times 2.1=4.41,\\2.2\times 2.2=4.84,\\2.3\times 2.3=5.29

となり2.2と2.3で5を超えるので\sqrt{5}=2.2??? だと分かります。

この作業をひたすらやり続けるのです。

【平方根の計算はパソコンで!?】

ただ、面倒なのでコンピュータで計算するのがベストです。

エクセルを使えば

「=SQRT(5)」

とセルに打ち込めば\sqrt{5}の値がでてきます。

平方根の計算機

以下に平方根を計算してくれるプログラムを作ったので試しに色々な数値を入れて遊んでみてください。

の平方根

平方根における注意事項

また、平方根で注意することは、平方根は正の実数でしかないということです。

例えば-1の平方根はありません。

つまり、ルートの中に負の数が入ることはありません。

平方根の公式

平方根を計算する際に便利な公式を紹介します。

平方根の公式

1.a>0,b>0,k>0のとき、

1.\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}

2.\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

3.\sqrt{k^{2}a}=k\sqrt{a}

【1の証明】

\sqrt{ab}は二乗したらabとなる正の実数です。また、平方根の性質1「a\geq 0のとき、(\sqrt{a})^{2}=a」より

 (\sqrt{a}\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a})^{2}(\sqrt{b})^{2}=ab

と二乗したらabとなる正の実数になります。よって、

 \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}

となります。

【2の証明】

1の証明と同様にして

 \displaystyle\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\times\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}}{(\sqrt{b})^{2}}=\frac{a}{b}

と二乗したら\displaystyle\frac{a}{b}となる正の実数になります。よって、

 \displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

となります。

【3の証明】

1,2の証明と同様にして

 \displaystyle (k\sqrt{a})^{2}=k^{2}(\sqrt{a})^{2}=k^{2}a

と二乗したらk^{2}aとなる正の実数になります。よって、

 \sqrt{k^{2}a}=k\sqrt{a}

となります。

ではいくつか計算問題を解いていき、平方根に慣れていきましょう。

以下の計算をせよ。

(1)\sqrt{(-5)^{2}}

(2)\sqrt{12}-\sqrt{27}+2\sqrt{48}

(3)(\sqrt{12}-\sqrt{8})^{2}

(1)\sqrt{(-5)^{2}}を解いていきます。

まず、平方根の中を計算すると

 \sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}

よって、5が解となります。\sqrt{\ }は正の平方根という定義であることに注意しましょう。(-5は間違いです。)

(2)\sqrt{12}-\sqrt{27}+2\sqrt{48}を解いていきます。

 \sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{3}

 \sqrt{27}=\sqrt{3^{2}\cdot 3}=3\sqrt{3}

 2\sqrt{48}=2\sqrt{4^{2}\cdot 3}=8\sqrt{3}

を利用して解いていきます。

 \sqrt{12}-\sqrt{27}+2\sqrt{48}\\=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+8\sqrt{3}\\=(2-3+8)\sqrt{3}\\=7\sqrt{3}

ここで分配法則を使用しています。

(3)(\sqrt{12}-\sqrt{8})^{2}を解いていきます。

 (\sqrt{12}-\sqrt{8})^{2}\\=(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})^{2}\\=4(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}\\=4(3-2\sqrt{6}+2)\\=4(5-2\sqrt{6})\\=20-8\sqrt{6}

  • 二乗したらaになる値がaの平方根
  • 平方根の計算は面倒
  • 負の数の平方根は実数の範囲では存在しない

著者:安井 真人(やすい まさと)